📝 题目
例 1 对于 $K = \left\lbrack {a,b}\right\rbrack$ 的情形, $\mathcal{C}\left( K\right) = \mathcal{C}\left( \left\lbrack {a,b}\right\rbrack \right)$ 由所有的在 $\left\lbrack {a,b}\right\rbrack$ 连续的函数组成. 如果用 $\mathcal{P}$ 表示定义于 $\left\lbrack {a,b}\right\rbrack$ 上的多项式函数的集合, 那么显然有
$$ \mathcal{P} \subset \mathcal{C}\left( \left\lbrack {a,b}\right\rbrack \right) . $$
一个函数 $f \in \mathcal{C}\left( \left\lbrack {a,b}\right\rbrack \right)$ 能用多项式一致逼近,其充要条件是 $f \in \mathcal{A}$ 于是, 魏尔斯特拉斯逼近定理可以表述为
$$ \overline{\mathcal{P}} = \mathcal{C}\left( \left\lbrack {a,b}\right\rbrack \right) . $$
以下,我们仍用 $K$ 表示距离空间中的一个紧致集.
引理 7 如果 $\mathcal{A}$ 是 $\mathcal{C}\left( K\right)$ 的一个子代数,那么 $\overline{\mathcal{A}}$ 也是 $\mathcal{C}\left( K\right)$ 的子代数.
💡 答案与解析
证明 设 $\lambda \in \mathbb{R},f,g \in \overline{\mathcal{A}}$ ,则存在 $\left\{ {f}_{n}\right\} \subset \mathcal{A}$ 和 $\left\{ {g}_{n}\right\} \subset \mathcal{A}$ ,使得
$$ {f}_{n}\underset{K}{ \rightarrow }f,\;{g}_{n}\underset{K}{ \rightarrow }g. $$
于是, 显然有
$$ \lambda {f}_{n}\underset{K}{ \rightarrow }{\lambda f},\;{f}_{n} + {g}_{n}\underset{K}{ \rightarrow }f + g, $$
$$ {f}_{n} \cdot {g}_{n}\underset{K}{ \rightarrow }f \cdot g $$
因而
$$ {\lambda f} \in \overline{\mathcal{A}},\;f + g \in \overline{\mathcal{A}},\;f \cdot g \in \overline{\mathcal{A}}. $$
这样,我们证明了 $\overline{\mathcal{A}}$ 是 $\mathcal{C}\left( K\right)$ 的子代数.
引理 8 设 $\mathcal{A}$ 是 $\mathcal{C}\left( K\right)$ 的一个子代数, $1 \in \mathcal{A}$ ,则有
$$ f \in \mathcal{A} \Rightarrow \left| f\right| \in \overline{\mathcal{A}}. $$
因为 $\overline{\mathcal{A}}$ 也是 $\mathcal{C}\left( K\right)$ 的子代数,并且 $1 \in \overline{\mathcal{A}}$ ,所以更一般的有
$$ g \in \overline{\mathcal{A}} \Rightarrow \left| g\right| \in \overline{\mathcal{A}}. $$
证明 紧致集 $K$ 上的任何连续函数必定有界. 对于 $f \in \mathcal{A} \subset$ $\mathcal{C}\left( K\right)$ ,存在 $c > 0$ ,使得
$$ \left| {f\left( x\right) }\right| \leq c,\;\forall x \in K. $$
根据引理 2,在闭区间 $\left\lbrack {-c,c}\right\rbrack$ 上,函数 $\psi \left( t\right) = \left| t\right|$ 可以用多项式序列 $\left\{ {{p}_{n}\left( t\right) }\right\}$ 一致逼近. 显然有
$$ {p}_{n}\left( {f\left( x\right) }\right) \underset{K}{ \rightarrow }\left| {f\left( x\right) }\right| . $$
因为 $\mathcal{A}$ 是一个含有单位元 1 的代数,所以
$$ {p}_{n}\left( f\right) \in \mathcal{A},\;n = 1,2,\cdots . $$
我们证明了: $\left| f\right|$ 是 $\mathcal{A}$ 中序列 $\left\{ {{p}_{n}\left( f\right) }\right\}$ 的 (一致) 极限,即 $\left| f\right| \in \overline{\mathcal{A}}$ .
应用上面证明的结果于子代数 $\mathcal{B} = \overline{\mathcal{A}}$ ,并注意到 $\overline{\mathcal{B}} = \mathcal{B} = \overline{\mathcal{A}}$ ,我们可以断定;
$$ g \in \overline{\mathcal{A}} \Rightarrow \left| g\right| \in \overline{\mathcal{A}}. $$
对 $f,g \in \mathcal{C}\left( K\right)$ ,我们定义两个函数 $\max \left( {f,g}\right)$ 和 $\min \left( {f,g}\right)$ 如下:
$$ \max \left( {f,g}\right) \left( x\right) = \max \{ f\left( x\right) ,g\left( x\right) \} , $$
$$ \min \left( {f,g}\right) \left( x\right) = \min \{ f\left( x\right) ,g\left( x\right) \} . $$
容易验证:
$$ \max \left( {f,g}\right) = \frac{f + g}{2} + \frac{\left| f - g\right| }{2}, $$
$$ \min \left( {f,g}\right) = \frac{f + g}{2} - \frac{\left| f - g\right| }{2}. $$
更一般地,对于 ${f}_{1},\cdots ,{f}_{m} \in \mathcal{C}\left( K\right)$ ,我们定义
$$ \max \left( {{f}_{1},\cdots ,{f}_{m}}\right) \left( x\right) = \max \left\{ {{f}_{1}\left( x\right) ,\cdots ,{f}_{m}\left( x\right) }\right\} , $$
$$ \min \left( {{f}_{1},\cdots ,{f}_{m}}\right) \left( x\right) = \min \left\{ {{f}_{1}\left( x\right) ,\cdots ,{f}_{m}\left( x\right) }\right\} . $$
对于 $m > 2$ 的情形,显然有以下关系:
$$ \max \left( {{f}_{1},\cdots ,{f}_{m}}\right) = \max \left( {\max \left( {{f}_{1},\cdots ,{f}_{m - 1}}\right) ,{f}_{m}}\right) , $$
$$ \min \left( {{f}_{1},\cdots ,{f}_{m}}\right) = \min \left( {\min \left( {{f}_{1},\cdots ,{f}_{m - 1}}\right) ,{f}_{m}}\right) . $$
利用引理 7 和引理 8 可得:
引理 9 设 $\mathcal{A}$ 是 $\mathcal{C}\left( K\right)$ 的子代数, $1 \in \mathcal{A}$ . 则对任何 $f,g \in \overline{\mathcal{A}}$ ,都有
$$ \max \left( {f,g}\right) \in \overline{\mathcal{A}},\;\min \left( {f,g}\right) \in \overline{\mathcal{A}}. $$
更一般地,对任何 ${f}_{1},\cdots ,{f}_{m} \in \overline{\mathcal{A}}$ 都有
$$ \max \left( {{f}_{1},\cdots ,{f}_{m}}\right) \in \overline{\mathcal{A}}, $$
$$ \min \left( {{f}_{1},\cdots ,{f}_{m}}\right) \in \overline{\mathcal{A}}\text{ . } $$
设 $\mathcal{E} \subset \mathcal{C}\left( K\right)$ . 如果对 $K$ 中任意两个不同的点 $x$ 和 $y$ ,都存在 $\psi \in \mathcal{E}$ ,使得
$$ \psi \left( x\right) \neq \psi \left( y\right) , $$
那么我们就说 $\mathcal{E}$ 能区分 $K$ 中的点.