📝 题目
例 2 设 $K = \left\{ {\left( {x,y}\right) \in {\mathbb{R}}^{2} \mid {x}^{2} + {y}^{2} = 1}\right\}$ . 我们把 $\varphi \in \mathcal{C}\left( K\right)$ 叫作奇函数, 如果它满足条件
$$ \varphi \left( {-x, - y}\right) = - \varphi \left( {x,y}\right) ,\;\forall \left( {x,y}\right) \in K. $$
类似地,我们把 $\psi \in \mathcal{C}\left( K\right)$ 叫作偶函数,如果它满足条件
$$ \psi \left( {-x, - y}\right) = \psi \left( {x,y}\right) ,\;\forall \left( {x,y}\right) \in K. $$
如果分别用 ${\mathcal{E}}_{1}$ 和 ${\mathcal{E}}_{2}$ 表示 $\mathcal{C}\left( K\right)$ 中的全体奇函数的集合和全体偶函数的集合,那么 ${\mathcal{E}}_{1}$ 能区分 $K$ 中的点而 ${\mathcal{E}}_{2}$ 不能. 事实上, ${\mathcal{E}}_{1}$ 中的两个函数
$$ f\left( {x,y}\right) = x\text{ 和 }g\left( {x,y}\right) = y $$
已足以区分 $K$ 中任意两点; 而 ${\mathcal{E}}_{2}$ 中的任何函数都不能区分 $K$ 中如下两个点:
$$ \left( {1,0}\right) \text{ 和 }\left( {-1,0}\right) \text{ . } $$
引理 10 设 $\mathcal{A}$ 是 $\mathcal{C}\left( K\right)$ 的子代数, $1 \in \mathcal{A}$ . 如果 $\mathcal{A}$ 能区分 $K$ 中的点,那么对任意 $a,b \in K,a \neq b$ 和 $\alpha ,\beta \in \mathbb{R}$ ,存在 $\varphi \in \mathcal{A}$ ,满足条件
$$ \varphi \left( a\right) = \alpha ,\;\varphi \left( b\right) = \beta . $$
💡 答案与解析
证明 因为 $\mathcal{A}$ 能区分 $K$ 中的点,所以存在 $\psi \in \mathcal{A}$ ,使得
$$ \psi \left( a\right) \neq \psi \left( b\right) . $$
我们定义
$$ \varphi \left( x\right) = \alpha + \frac{\psi \left( x\right) - \psi \left( a\right) }{\psi \left( b\right) - \psi \left( a\right) }\left( {\beta - \alpha }\right) . $$
显然 $\varphi \in \mathcal{A}$ ,并且
$$ \varphi \left( a\right) = \alpha ,\;\varphi \left( b\right) = \beta . $$
在做了以上这些准备工作之后,我们来证明重要的斯通-魏尔斯特拉斯定理:
定理 2 设 $K$ 是距离空间中的紧致集, $\mathcal{A}$ 是 $\mathcal{C}\left( K\right)$ 的一个包含有单位元 1 的子代数. 如果 $\mathcal{A}$ 能区分 $K$ 中的点,那么
$$ \overline{\mathcal{A}} = \mathcal{C}\left( K\right) . $$
这就是说, $\mathcal{C}\left( K\right)$ 中的任何函数,都能用 $\mathcal{A}$ 中的函数一致逼近.
证明 因为 $\overline{\mathcal{A}}$ 是 $\mathcal{C}\left( K\right)$ 中的闭集,所以只需证明: 对任意 $f \in$ $\mathcal{C}\left( K\right)$ 和 $\varepsilon > 0$ ,存在 $\varphi \in \overline{\mathcal{A}}$ ,使得
$$ \left| {f\left( x\right) - \varphi \left( x\right) }\right| < \varepsilon ,\;\forall x \in K. $$
首先,根据引理 10,对任意的 $a,b \in K$ ,存在 ${\varphi }_{ab} \in \mathcal{A}$ ,使得
$$ {\varphi }_{ab}\left( a\right) = f\left( a\right) ,\;{\varphi }_{ab}\left( b\right) = f\left( b\right) . $$
(对于 $a = b$ 的情形,可取 ${\varphi }_{aa} = f\left( a\right) \cdot 1$ ——这里的“1”表示在 $K$ 上恒等于 1 的函数,即 $\mathcal{C}\left( K\right)$ 中的单位元 1.)
因为 ${\varphi }_{ab}\left( b\right) - f\left( b\right) = 0$ ,所以存在 $b$ 点的邻域 ${V}_{b}$ ,使得
$$ {\varphi }_{ab}\left( x\right) - f\left( x\right) > - \varepsilon ,\;\forall x \in {V}_{b} \cap K, $$
也就是
$$ {\varphi }_{ab}\left( x\right) > f\left( x\right) - \varepsilon ,\;\forall x \in {V}_{b} \cap K. $$
暂时让 $a$ 点固定,取 $b$ 为 $K$ 中的任意点. 所有这样的 ${V}_{b}$ 覆盖了 $K$ . 因而存在有限个这样的邻域
$$ {V}_{{b}_{1}},\cdots ,{V}_{{b}_{n}}, $$
使得
$$ K \subset \mathop{\bigcup }\limits_{{j = 1}}^{n}{V}_{{b}_{j}} $$
我们记
$$ {\varphi }_{a} = \max \left( {{\varphi }_{a{b}_{1}},\cdots ,{\varphi }_{a{b}_{n}}}\right) . $$
根据引理 $9,{\varphi }_{a} \in \mathcal{A}$ . 容易验证:
$$ {\varphi }_{a}\left( x\right) > f\left( x\right) - \varepsilon ,\;\forall x \in K, $$
$$ {\varphi }_{a}\left( a\right) = f\left( a\right) . $$
与上面的讨论类似,我们断定存在 $a$ 点的邻域 ${U}_{a}$ ,使得
$$ {\varphi }_{a}\left( x\right) < f\left( x\right) + \varepsilon ,\;\forall x \in {U}_{a} \cap K. $$
让 $a$ 点取遍 $K$ ,所有这样的 ${U}_{a}$ 覆盖了 $K$ ,因而存在其中有限个
$$ {U}_{{a}_{1}},\cdots ,{U}_{{a}_{m}} $$
使得
$$ K \subset \mathop{\bigcup }\limits_{{i = 1}}^{m}{U}_{{a}_{i}} $$
我们记
$$ \varphi = \min \left( {{\varphi }_{{a}_{1}},\cdots ,{\varphi }_{{a}_{m}}}\right) . $$
显然 $\varphi \in \overline{\mathcal{A}}$ ,并且满足条件
$$ f\left( x\right) - \varepsilon < \varphi \left( x\right) < f\left( x\right) + \varepsilon ,\;\forall x \in K, $$
也就是
$$ \left| {f\left( x\right) - \varphi \left( x\right) }\right| < \varepsilon ,\;\forall x \in K. $$
下面是应用斯通-魏尔斯特拉斯定理的一些例子.