📝 题目
例 1 在区间 $\left( {-\pi ,\pi }\right)$ 上把函数
$$ f\left( x\right) = x $$
展开成傅里叶级数.
💡 答案与解析
解 首先补充规定
$$ f\left( {-\pi }\right) = f\left( \pi \right) = 0, $$
然后再按周期 ${2\pi }$ 扩充函数 $f\left( x\right)$ 的定义到整个数轴上,我们把这样得到的周期为 ${2\pi }$ 的函数记为 $\widetilde{f}\left( x\right)$ (参看图 20-2).
因为 $\widetilde{f}\left( x\right)$ 是奇函数,所以它的傅里叶级数只含正弦部分. 按照欧拉-傅里叶公式计算系数得
$$ {b}_{k} = \frac{2}{\pi }{\int }_{0}^{\pi }\widetilde{f}\left( x\right) \sin {kx}\mathrm{\;d}x $$
$$ = \frac{2}{\pi }{\int }_{0}^{\pi }x\sin {kx}\mathrm{\;d}x $$
$$ = {\left( -1\right) }^{k + 1}\frac{2}{k},\;k = 1,2,\cdots . $$
\begin{center} \includegraphics[max width=0.3\textwidth]{images/117.jpg} \end{center} \hspace*{3em}
图 20-2
根据 3. $\mathrm{c}$ 或 $3.\mathrm{\;d}$ 中的判别法,可以断定函数 $\widetilde{f}$ 的傅里叶级数在任何一点 ${x}_{0}$ 处收敛于
$$ \frac{\widetilde{f}\left( {{x}_{0} + 0}\right) + \widetilde{f}\left( {{x}_{0} - 0}\right) }{2} = \widetilde{f}\left( {x}_{0}\right) . $$
我们得到:
$$ \widetilde{f}\left( x\right) = 2\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{{+\infty }}{\left( -1\right) }^{k + 1}\frac{\sin {kx}}{k},\;\forall x \in \mathbb{R}; $$
$$ x = 2\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{{+\infty }}{\left( -1\right) }^{k + 1}\frac{\sin {kx}}{k},\;\forall x \in \left( {-\pi ,\pi }\right) . $$