📝 题目
例 2 试将函数
$$ f\left( x\right) = {x}^{2},\;x \in \left\lbrack {-\pi ,\pi }\right\rbrack $$
展成傅里叶级数.
💡 答案与解析
解 我们扩充这函数的定义,使它成为周期为 ${2\pi }$ 的函数. 扩充后的函数记为 $\widetilde{f}\left( x\right)$ . 因为 $\widetilde{f}\left( x\right)$ 是偶函数,所以它的傅里叶级数只含余弦部分. 计算系数得:
$$ {a}_{0} = \frac{2}{\pi }{\int }_{0}^{\pi }{x}^{2}\mathrm{\;d}x = \frac{2}{3}{\pi }^{2}, $$
$$ {a}_{n} = \frac{2}{\pi }{\int }_{0}^{\pi }{x}^{2}\cos {nx}\mathrm{\;d}x $$
$$ = \frac{4\cos {n\pi }}{{n}^{2}} = {\left( -1\right) }^{n}\frac{4}{{n}^{2}}, $$
$$ n = 1,2,\cdots . $$
我们得到傅里叶级数展式:
$$ \widetilde{f}\left( x\right) = \frac{{\pi }^{2}}{3} + 4\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}{\left( -1\right) }^{n}\frac{\cos {nx}}{{n}^{2}},\;\forall x \in \mathbb{R}; $$
$$ {x}^{2} = \frac{{\pi }^{2}}{3} + 4\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}{\left( -1\right) }^{n}\frac{\cos {nx}}{{n}^{2}},\;\forall x \in \left\lbrack {-\pi ,\pi }\right\rbrack . $$
特别地,在上式中分别取 $x = 0$ 和 $x = \pi$ 就得到:
$$ \frac{{\pi }^{2}}{12} = \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}{\left( -1\right) }^{n - 1}\frac{1}{{n}^{2}} $$
和
$$ \frac{{\pi }^{2}}{6} = \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}\frac{1}{{n}^{2}} $$