📝 题目
例 5 在区间 $\left( {0,{2\pi }}\right)$ 将函数
$$ f\left( x\right) = \frac{\pi - x}{2} $$
展开为傅里叶级数.
💡 答案与解析
解 首先补充规定
$$ f\left( 0\right) = f\left( {2\pi }\right) = 0, $$
然后按周期 ${2\pi }$ 扩充函数 $f\left( x\right)$ 的定义到整个数轴上. 扩充后的函数记为 $\widetilde{f}\left( x\right)$ . 计算傅里叶系数得:
$$ {a}_{0} = \frac{1}{\pi }{\int }_{0}^{2\pi }\frac{\pi - x}{2}\mathrm{\;d}x = 0, $$
$$ {a}_{k} = \frac{1}{\pi }{\int }_{0}^{2\pi }\frac{\pi - x}{2}\cos {kx}\mathrm{\;d}x = 0, $$
$$ {b}_{k} = \frac{1}{\pi }{\int }_{0}^{2\pi }\frac{\pi - x}{2}\sin {kx}\mathrm{\;d}x = \frac{1}{k}, $$
$$ k = 1,2,\cdots \text{ . } $$
于是, 我们得到
$$ \frac{\pi - x}{2} = \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{{+\infty }}\frac{\sin {kx}}{k},\;0 < x < {2\pi }. $$