📝 题目
例 1 设 $b > a > 0$ ,试计算积分
$$ I = {\int }_{0}^{1}\frac{{x}^{b} - {x}^{a}}{\ln x}\mathrm{\;d}x. $$
💡 答案与解析
解 这积分可以写成
$$ I = {\int }_{0}^{1}\mathrm{\;d}x{\int }_{a}^{b}{x}^{y}\mathrm{\;d}y. $$
因为函数
$$ f\left( {x,y}\right) = {x}^{y} $$
在 $\left\lbrack {0,1}\right\rbrack \times \left\lbrack {a,b}\right\rbrack$ 连续,所以两个积分号可以交换次序. 我们得到
$$ I = {\int }_{0}^{1}\mathrm{\;d}x{\int }_{a}^{b}{x}^{y}\mathrm{\;d}y = {\int }_{a}^{b}\mathrm{\;d}y{\int }_{0}^{1}{x}^{y}\mathrm{\;d}x $$
$$ = {\int }_{a}^{b}\frac{\mathrm{d}y}{y + 1} = \ln \frac{b + 1}{a + 1}. $$