📝 题目
例 3 设函数 $g\left( x\right)$ 在 $\lbrack 0, + \infty )$ 连续并且广义可积,求证
$$ \mathop{\lim }\limits_{{a \rightarrow 0 + }}{\int }_{0}^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-{ax}}g\left( x\right) \mathrm{d}x = {\int }_{0}^{+\infty }g\left( x\right) \mathrm{d}x $$
💡 答案与解析
证明 我们看到:
(1)对于取定的 $\alpha \in \left\lbrack {0,\eta }\right\rbrack$ ,函数
$$ f\left( {\alpha ,x}\right) = {\mathrm{e}}^{-{ax}} $$
关于 $x$ 单调,并且显然有
$$ \left| {f\left( {\alpha ,x}\right) }\right| \leq 1,\;\forall \alpha \in \left\lbrack {0,\eta }\right\rbrack ,x \in \lbrack 0, + \infty ); $$
(2)积分
$$ {\int }_{0}^{+\infty }g\left( x\right) \mathrm{d}x $$
收敛.
根据阿贝尔判别法, 我们断定积分
$$ {\int }_{0}^{+\infty }f\left( {\alpha ,x}\right) g\left( x\right) \mathrm{d}x = {\int }_{0}^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-{\alpha x}}g\left( x\right) \mathrm{d}x $$
对 $\alpha \in \left\lbrack {0,\eta }\right\rbrack$ 一致收敛,因而函数
$$ \varphi \left( \alpha \right) = {\int }_{0}^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-{\alpha x}}g\left( x\right) \mathrm{d}x $$
在 $\left\lbrack {0,\eta }\right\rbrack$ 连续. 于是有
$$ \mathop{\lim }\limits_{{\alpha \rightarrow 0 + }}\varphi \left( \alpha \right) = \varphi \left( 0\right) , $$
这也就是
$$ \mathop{\lim }\limits_{{\alpha \rightarrow 0 + }}{\int }_{0}^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-{ax}}g\left( x\right) \mathrm{d}x = {\int }_{0}^{+\infty }g\left( x\right) \mathrm{d}x. $$