📝 题目
例 6 试计算积分
$$ {\int }_{0}^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-{x}^{2}}\cos {2\beta x}\mathrm{\;d}x. $$
💡 答案与解析
解 我们记
$$ I\left( \beta \right) = {\int }_{0}^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-{x}^{2}}\cos {2\beta x}\mathrm{\;d}x. $$
对参数 $\beta$ 求导得到
$$ {I}^{\prime }\left( \beta \right) = - {\int }_{0}^{+\infty }{2x}{\mathrm{e}}^{-{x}^{2}}\sin {2\beta x}\mathrm{\;d}x. $$
用分部积分法计算得
$$ {I}^{\prime }\left( \beta \right) = {\left. {\mathrm{e}}^{-{x}^{2}}\sin 2\beta x\right| }_{0}^{+\infty } - {2\beta }{\int }_{0}^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-{x}^{2}}\cos {2\beta x}\mathrm{\;d}x $$
$$ = - {2\beta I}\left( \beta \right) \text{ . } $$
通过解微分方程
$$ {I}^{\prime }\left( \beta \right) = - {2\beta I}\left( \beta \right) $$
我们得到
$$ I\left( \beta \right) = C{\mathrm{e}}^{-{\beta }^{2}}. $$
因为 (参看第十三章 §5 中的