📝 题目
例 1 设 $a \leq c \leq b$ ,求证: $\displaystyle{\left| c\right| \leq \max \{ \left| a\right| ,\left| b\right| \}}$ .
💡 答案与解析
证法 1
$$ \max \{ \left| a\right| ,\left| b\right| \} \geq \left| b\right| \geq b \geq c, \tag{1.1} $$
$$ - \max \{ \left| a\right| ,\left| b\right| \} \leq - \left| a\right| \leq a \leq c. \tag{1.2} $$
联合 (1.1) 与 (1.2) 即得 $\displaystyle{\left| c\right| \leq \max \{ \left| a\right| ,\left| b\right| \}}$ .
证法 2 分 $c \geq 0$ 和 $c < 0$ 两种情况考虑. 当 $c \geq 0$ 时,
$$ c \leq b \Rightarrow \left| c\right| \leq \left| b\right| \leq \max \{ \left| a\right| ,\left| b\right| \} ; $$
当 $c < 0$ 时, $\displaystyle{0 \leq - c \leq - a \Rightarrow \left| c\right| \leq \left| a\right| \leq \max \{ \left| a\right| ,\left| b\right| \}}$ .