📝 题目
5. 4.1 求曲线 $z = {x}^{2} + {y}^{2},2{x}^{2} + 2{y}^{2} - {z}^{2} = 0$ 在(1,1,2)点的切线方程.
💡 答案与解析
### 5.4.1 求曲线 $$ \begin{cases} z = x^2 + y^2, \\ 2x^2 + 2y^2 - z^2 = 0 \end{cases} $$ 在点 $(1,1,2)$ 处的切线方程。
**步骤 1：理解曲线** 曲线由两个曲面相交得到。在点 $(1,1,2)$ 处，两个曲面都经过该点，且曲线在该点的切向量同时垂直于两个曲面的法向量。
**步骤 2：求两个曲面的法向量** 第一个曲面 $F_1(x,y,z) = x^2 + y^2 - z = 0$，梯度为 $$ \nabla F_1 = (2x, 2y, -1) $$ 在点 $(1,1,2)$ 处： $$ \mathbf{n}_1 = (2, 2, -1) $$
第二个曲面 $F_2(x,y,z) = 2x^2 + 2y^2 - z^2 = 0$，梯度为 $$ \nabla F_2 = (4x, 4y, -2z) $$ 在点 $(1,1,2)$ 处： $$ \mathbf{n}_2 = (4, 4, -4) $$
**步骤 3：求切向量** 曲线的切向量 $\mathbf{T}$ 同时垂直于 $\mathbf{n}_1$ 和 $\mathbf{n}_2$，因此取叉积： $$ \mathbf{T} = \mathbf{n}_1 \times \mathbf{n}_2 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & 2 & -1 \\ 4 & 4 & -4 \end{vmatrix} $$ 计算： - $\mathbf{i}$ 分量：$2 \cdot (-4) - (-1) \cdot 4 = -8 + 4 = -4$ - $\mathbf{j}$ 分量：$-(2 \cdot (-4) - (-1) \cdot 4) = -(-8 + 4) = 4$ - $\mathbf{k}$ 分量：$2 \cdot 4 - 2 \cdot 4 = 8 - 8 = 0$
所以 $$ \mathbf{T} = (-4, 4, 0) $$ 可以简化为方向向量 $( -1, 1, 0)$。
**步骤 4：写出切线方程** 过点 $(1,1,2)$，方向为 $(-1,1,0)$，参数式： $$ \begin{cases} x = 1 - t, \\ y = 1 + t, \\ z = 2 \end{cases} $$ 对称式： $$ \frac{x-1}{-1} = \frac{y-1}{1}, \quad z = 2 $$
因此切线方程为： $$ \boxed{\frac{x-1}{-1} = \frac{y-1}{1},\; z=2} $$
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### 5.4.2 在曲线 $y = x^2, \; z = x^3$ 上求一点，使该点的切线平行于平面 $$ x + 2y + z = 0 $$
**步骤 1：曲线参数化** 令 $x = t$，则曲线为 $$ \mathbf{r}(t) = (t, t^2, t^3) $$ 切向量为 $$ \mathbf{r}'(t) = (1, 2t, 3t^2) $$
**步骤 2：切线平行于平面的条件** 平面 $x + 2y + z = 0$ 的法向量为 $\mathbf{n} = (1, 2, 1)$。 切线平行于平面，意味着切向量垂直于平面的法向量，即 $$ \mathbf{r}'(t) \cdot \mathbf{n} = 0 $$ 计算： $$ (1, 2t, 3t^2) \cdot (1, 2, 1) = 1 + 4t + 3t^2 = 0 $$
**步骤 3：解方程** $$ 3t^2 + 4t + 1 = 0 $$ 解得 $$ t = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 12}}{6} = \frac{-4 \pm 2}{6} $$ 所以 $$ t = -\frac{1}{3} \quad \text{或} \quad t = -1 $$
**步骤 4：求对应点** 当 $t = -1$ 时，点为 $(-1, 1, -1)$。 当 $t = -\frac{1}{3}$ 时，点为 $\left(-\frac{1}{3}, \frac{1}{9}, -\frac{1}{27}\right)$。
因此所求点为： $$ \boxed{(-1, 1, -1)} \quad \text{和} \quad \boxed{\left(-\frac{1}{3}, \frac{1}{9}, -\frac{1}{27}\right)} $$