方企勤 第五章 多元函数微分学 第5.4题

5.4.1
求曲线
$$
\begin{cases}
z = x^2 + y^2, \\
2x^2 + 2y^2 - z^2 = 0
\end{cases}
$$
在点 $(1,1,2)$ 处的切线方程。

步骤 1：理解曲线
曲线由两个曲面相交得到。在点 $(1,1,2)$ 处，两个曲面都经过该点，且曲线在该点的切向量同时垂直于两个曲面的法向量。

步骤 2：求两个曲面的法向量
第一个曲面 $F_1(x,y,z) = x^2 + y^2 - z = 0$，梯度为
$$
\nabla F_1 = (2x, 2y, -1)
$$
在点 $(1,1,2)$ 处：
$$
\mathbf{n}_1 = (2, 2, -1)
$$

第二个曲面 $F_2(x,y,z) = 2x^2 + 2y^2 - z^2 = 0$，梯度为
$$
\nabla F_2 = (4x, 4y, -2z)
$$
在点 $(1,1,2)$ 处：
$$
\mathbf{n}_2 = (4, 4, -4)
$$

步骤 3：求切向量
曲线的切向量 $\mathbf{T}$ 同时垂直于 $\mathbf{n}_1$ 和 $\mathbf{n}_2$，因此取叉积：
$$
\mathbf{T} = \mathbf{n}_1 \times \mathbf{n}_2
=
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
2 & 2 & -1 \\
4 & 4 & -4
\end{vmatrix}
$$
计算：
- $\mathbf{i}$ 分量：$2 \cdot (-4) - (-1) \cdot 4 = -8 + 4 = -4$
- $\mathbf{j}$ 分量：$-(2 \cdot (-4) - (-1) \cdot 4) = -(-8 + 4) = 4$
- $\mathbf{k}$ 分量：$2 \cdot 4 - 2 \cdot 4 = 8 - 8 = 0$

所以
$$
\mathbf{T} = (-4, 4, 0)
$$
可以简化为方向向量 $( -1, 1, 0)$。

步骤 4：写出切线方程
过点 $(1,1,2)$，方向为 $(-1,1,0)$，参数式：
$$
\begin{cases}
x = 1 - t, \\
y = 1 + t, \\
z = 2
\end{cases}
$$
对称式：
$$
\frac{x-1}{-1} = \frac{y-1}{1}, \quad z = 2
$$

因此切线方程为：
$$
\boxed{\frac{x-1}{-1} = \frac{y-1}{1},\; z=2}
$$

---

5.4.2
在曲线 $y = x^2, \; z = x^3$ 上求一点，使该点的切线平行于平面
$$
x + 2y + z = 0
$$

步骤 1：曲线参数化
令 $x = t$，则曲线为
$$
\mathbf{r}(t) = (t, t^2, t^3)
$$
切向量为
$$
\mathbf{r}'(t) = (1, 2t, 3t^2)
$$

步骤 2：切线平行于平面的条件
平面 $x + 2y + z = 0$ 的法向量为 $\mathbf{n} = (1, 2, 1)$。
切线平行于平面，意味着切向量垂直于平面的法向量，即
$$
\mathbf{r}'(t) \cdot \mathbf{n} = 0
$$
计算：
$$
(1, 2t, 3t^2) \cdot (1, 2, 1) = 1 + 4t + 3t^2 = 0
$$

步骤 3：解方程
$$
3t^2 + 4t + 1 = 0
$$
解得
$$
t = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 12}}{6} = \frac{-4 \pm 2}{6}
$$
所以
$$
t = -\frac{1}{3} \quad \text{或} \quad t = -1
$$

步骤 4：求对应点
当 $t = -1$ 时，点为 $(-1, 1, -1)$。
当 $\displaystyle t = -\frac{1}{3}$ 时，点为 $\displaystyle \left(-\frac{1}{3}, \frac{1}{9}, -\frac{1}{27}\right)$。

因此所求点为：
$$
\boxed{(-1, 1, -1)} \quad \text{和} \quad \boxed{\left(-\frac{1}{3}, \frac{1}{9}, -\frac{1}{27}\right)}
$$