📝 题目
例 3 设 $f\left( 0\right) = 0$ ,且 ${f}^{\prime }\left( x\right)$ 在 $\lbrack 0, + \infty )$ 上严格单调增加. 求证:
( 1 )在 $\left( {0, + \infty }\right)$ 上函数 $g\left( x\right) \frac{\text{ 定义 }f\left( x\right) }{x}$ 严格单调增加；
(2)对于任意正数 ${a}_{1},{a}_{2},\cdots ,{a}_{n}\left( {n > 1}\right)$ ,有
$$ f\left( {a}_{1}\right) + f\left( {a}_{2}\right) + \cdots + f\left( {a}_{n}\right) < f\left( {{a}_{1} + {a}_{2} + \cdots + {a}_{n}}\right) . $$
💡 答案与解析
证(1)对 $g\left( x\right) \frac{\text{ 定义 }}{}x$ ,应用