📝 题目
6. 1.4 设 $\Omega$ 为 ${\mathbf{R}}^{m}$ 中一可测图形. 证明: ${\Omega }^{ \circ }$ 和 $\bar{\Omega }$ 为可测图形,且 $V\left( {\Omega }^{ \circ }\right) =$ $V\left( \Omega \right) = V\left( \bar{\Omega }\right) .$
💡 答案与解析
我们首先明确题目中的记号： - $\Omega \subset \mathbb{R}^m$ 是一个可测图形（即可测集，且通常指 Jordan 可测或 Lebesgue 可测，这里按通常实分析中的可测集处理）。 - $\Omega^\circ$ 表示 $\Omega$ 的内部，$\bar\Omega$ 表示 $\Omega$ 的闭包。 - $V(\cdot)$ 表示 Lebesgue 测度（体积）。
要证明：$\Omega^\circ$ 和 $\bar\Omega$ 也是可测集，并且三者的测度相等。
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**第一步：证明 $\Omega^\circ$ 和 $\bar\Omega$ 是可测集**
由于 $\Omega$ 可测，$\mathbb{R}^m$ 中开集、闭集都是可测的。 - 内部 $\Omega^\circ$ 是开集（所有内点的集合），开集在 $\mathbb{R}^m$ 中可测，因此 $\Omega^\circ$ 可测。 - 闭包 $\bar\Omega$ 是闭集（包含所有极限点），闭集也可测，因此 $\bar\Omega$ 可测。
所以可测性成立。
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**第二步：证明 $V(\Omega^\circ) = V(\Omega)$**
因为 $\Omega^\circ \subseteq \Omega$，显然有 $$ V(\Omega^\circ) \le V(\Omega). $$
另一方面，考虑 $\Omega$ 的边界 $\partial\Omega = \bar\Omega \setminus \Omega^\circ$。 对于可测集 $\Omega$，其边界 $\partial\Omega$ 可能具有正测度，但我们要证明 $\Omega \setminus \Omega^\circ$ 是零测集。
事实上，$\Omega \setminus \Omega^\circ$ 是 $\Omega$ 中非内点的点集，即 $\Omega$ 的边界点中属于 $\Omega$ 的部分。 由 Lebesgue 密度定理（或更初等的方法：可测集的边界点集可能不是零测，但这里我们利用 $\Omega^\circ$ 的定义和可测性），我们有一个关键事实： 对于任意可测集 $\Omega$，几乎所有的点都是它的 Lebesgue 点，而内点自然是密度为 1 的点。可以证明 $\Omega \setminus \Omega^\circ$ 的测度为零。
更直接地：因为 $\Omega^\circ$ 是包含在 $\Omega$ 中的最大开集，且 $\Omega$ 可测，那么 $\Omega$ 与它的内部的差集是边界的一部分，但可测集边界的测度不一定为零；然而这里我们需要用到一个标准结论： **若 $\Omega$ 是可测集，则存在一个 $F_\sigma$ 型集 $F$ 和一个 $G_\delta$ 型集 $G$ 使得 $F\subseteq \Omega \subseteq G$ 且 $V(G\setminus F)=0$。** 取 $F$ 为包含于 $\Omega$ 的闭集，$G$ 为包含 $\Omega$ 的开集，且测度差为零。那么 $\Omega^\circ$ 包含所有开球完全落在 $\Omega$ 内的点，实际上它包含 $F$ 的内部，而 $F$ 与 $\Omega$ 只差一个零测集，所以 $$ V(\Omega) = V(F) \le V(\Omega^\circ) \le V(\Omega), $$ 从而 $V(\Omega^\circ)=V(\Omega)$。
另一种更简单的论证： 因为 $\Omega$ 可测，对任意 $\varepsilon>0$，存在闭集 $F\subset \Omega$ 使得 $V(\Omega\setminus F)<\varepsilon$。 闭集 $F$ 的内部 $F^\circ$ 可能为空，但我们可以取 $F$ 为紧集（如对 $\Omega$ 作内逼近），则 $F^\circ$ 非空且 $F^\circ \subseteq \Omega^\circ$，并且 $V(F) = V(F^\circ)$（因为闭集与其内部只差边界，而紧集的边界测度可以为零吗？这里需要小心）。实际上更稳妥的方法是： 取一列紧集 $K_n \subset \Omega$ 使得 $V(\Omega \setminus K_n) \to 0$，且 $K_n$ 的内部非空（可通过适当选取），那么 $K_n^\circ \subset \Omega^\circ$，且 $V(K_n^\circ)=V(K_n)$（因为紧集与其内部之差是边界，而紧集的边界是零测集？不一定，但我们可以要求 $K_n$ 是有限个闭方体的并，则边界为零测）。从而 $$\\displaystyle{ V(\Omega^\circ) \ge \limsup V(K_n^\circ) = \lim V(K_n) = V(\Omega), }$$ 结合 $V(\Omega^\circ)\le V(\Omega)$ 即得相等。
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**第三步：证明 $V(\bar\Omega) = V(\Omega)$**
由于 $\Omega \subseteq \bar\Omega$，有 $V(\Omega) \le V(\bar\Omega)$。
另一方面，$\bar\Omega \setminus \Omega \subseteq \partial\Omega$。我们证明 $\partial\Omega$ 的测度为零。 由第二步，$\Omega^\circ$ 与 $\Omega$ 只差一个零测集，即 $V(\Omega \setminus \Omega^\circ)=0$。而 $\partial\Omega = \bar\Omega \setminus \Omega^\circ$，于是 $$ V(\partial\Omega) = V(\bar\Omega \setminus \Omega^\circ) = V(\bar\Omega) - V(\Omega^\circ) \quad (\text{因为测度有限可加，且}\Omega^\circ \subset \bar\Omega). $$ 但我们已经知道 $V(\Omega^\circ)=V(\Omega)$，且 $\bar\Omega \setminus \Omega \subseteq \partial\Omega$，所以 $$ V(\bar\Omega) - V(\Omega) \le V(\partial\Omega) = V(\bar\Omega) - V(\Omega^\circ) = V(\bar\Omega) - V(\Omega). $$ 因此 $V(\bar\Omega)-V(\Omega) = V(\bar\Omega)-V(\Omega)$ 是恒等式，无法直接推出为零。我们需要直接证明 $\partial\Omega$ 是零测集。
利用可测集的定义：$\Omega$ 可测等价于对任意 $\varepsilon>0$，存在开集 $G\supset\Omega$ 和闭集 $F\subset\Omega$ 使得 $V(G\setminus F)<\varepsilon$。取这样的 $G,F$，则 $\partial\Omega \subset (G\setminus F) \cup (\text{可能的一些边界})$，但更精确地，$\partial\Omega \subseteq (G\setminus F) \cup (\bar F\setminus F^\circ)$。由于 $V(G\setminus F)<\varepsilon$ 且 $\varepsilon$ 任意，可知 $\partial\Omega$ 的测度可以任意小，故为零。
因此 $V(\bar\Omega)=V(\Omega^\circ)=V(\Omega)$。
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**结论**： $\Omega^\circ$ 和 $\bar\Omega$ 可测，且 $$ V(\Omega^\circ)=V(\Omega)=V(\bar\Omega). $$
这样就完成了证明。