📝 题目
**解答**
设 $\Omega \subset \mathbb{R}^m$ 是一个开区域，且是可测图形，$f \in C(\Omega, \mathbb{R})$。已知对任意可测图形 $B \subset \Omega$，都有 $$\\displaystyle{ \int_B f \, dV = 0. }$$ 我们要证明 $f(x) \equiv 0$ 在 $\Omega$ 上。
**证明步骤：**
1. **反证法假设** 假设存在一点 $x_0 \in \Omega$ 使得 $f(x_0) \neq 0$。不妨设 $f(x_0) > 0$（若 $f(x_0) < 0$，可考虑 $-f$ 同理证明）。由连续性，存在 $\delta > 0$ 使得闭球 $\overline{B}(x_0, \delta) \subset \Omega$，且对任意 $x \in \overline{B}(x_0, \delta)$ 有 $$ f(x) \ge \frac{f(x_0)}{2} > 0. $$
2. **构造可测图形** 取 $B = \overline{B}(x_0, \delta)$，这是一个闭球，显然是可测图形（因为它是紧集且边界为零测集）。由已知条件，应有 $$\\displaystyle{ \int_B f \, dV = 0. }$$
3. **导出矛盾** 但在 $B$ 上，$f(x) \ge \frac{f(x_0)}{2} > 0$，且 $B$ 的体积 $V(B) > 0$，因此 $$\\displaystyle{ \int_B f \, dV \ge \frac{f(x_0)}{2} \cdot V(B) > 0. }$$ 这与 $\int_B f \, dV = 0$ 矛盾。
4. **结论** 因此假设不成立，对任意 $x \in \Omega$ 必有 $f(x) = 0$，即 $f \equiv 0$ 在 $\Omega$ 上。
**关键步骤说明**： - 利用连续性得到局部正的下界，这是从点值非零推出邻域内函数值同号的关键。 - 选取闭球作为可测图形，因为闭球是紧集且边界测度为零，满足“可测图形”的条件。 - 积分值为零与正函数在正测度集上的积分必为正之间的矛盾，完成了证明。
💡 答案与解析
**解答**
设 $\Omega \subset \mathbb{R}^m$ 是一个开区域，且是可测图形，$f \in C(\Omega, \mathbb{R})$。已知对任意可测图形 $B \subset \Omega$，都有 $$\\displaystyle{ \int_B f \, dV = 0. }$$ 我们要证明 $f(x) \equiv 0$ 在 $\Omega$ 上。
**证明步骤：**
1. **反证法假设** 假设存在一点 $x_0 \in \Omega$ 使得 $f(x_0) \neq 0$。不妨设 $f(x_0) > 0$（若 $f(x_0) < 0$，可考虑 $-f$ 同理证明）。由连续性，存在 $\delta > 0$ 使得闭球 $\overline{B}(x_0, \delta) \subset \Omega$，且对任意 $x \in \overline{B}(x_0, \delta)$ 有 $$ f(x) \ge \frac{f(x_0)}{2} > 0. $$
2. **构造可测图形** 取 $B = \overline{B}(x_0, \delta)$，这是一个闭球，显然是可测图形（因为它是紧集且边界为零测集）。由已知条件，应有 $$\\displaystyle{ \int_B f \, dV = 0. }$$
3. **导出矛盾** 但在 $B$ 上，$f(x) \ge \frac{f(x_0)}{2} > 0$，且 $B$ 的体积 $V(B) > 0$，因此 $$\\displaystyle{ \int_B f \, dV \ge \frac{f(x_0)}{2} \cdot V(B) > 0. }$$ 这与 $\int_B f \, dV = 0$ 矛盾。
4. **结论** 因此假设不成立，对任意 $x \in \Omega$ 必有 $f(x) = 0$，即 $f \equiv 0$ 在 $\Omega$ 上。
**关键步骤说明**： - 利用连续性得到局部正的下界，这是从点值非零推出邻域内函数值同号的关键。 - 选取闭球作为可测图形，因为闭球是紧集且边界测度为零，满足“可测图形”的条件。 - 积分值为零与正函数在正测度集上的积分必为正之间的矛盾，完成了证明。