📝 题目
6. 1.8 设定义在可测图形 $\Omega \subset {\mathbf{R}}^{m}$ 上的两个函数 $f,g$ 有界、可积,而且 $g\left( x\right)$ 在 $\Omega$ 上之值非负. 令
$$ m = \mathop{\inf }\limits_{{x \in \Omega }}\{ f\left( x\right) \} ,\;M = \mathop{\sup }\limits_{{x \in \Omega }}\{ f\left( x\right) \} . $$
证明:
(1) $F\left( t\right) = {\int }_{\Omega }\left\lbrack {f\left( x\right) - t}\right\rbrack g\left( x\right) \mathrm{d}V$ 是 $\left\lbrack {m,M}\right\rbrack$ 上的连续函数；
(2)存在 $\mu \in \left\lbrack {m,M}\right\rbrack$ ,使得
$$ {\int }_{\Omega }f \cdot g\mathrm{\;d}V = \mu \cdot {\int }_{\Omega }g\mathrm{\;d}V. $$
💡 答案与解析
**解答**
**(1) 证明 $F(t)$ 在 $[m, M]$ 上连续**
首先，由题设，$f, g$ 在可测集 $\Omega \subset \mathbb{R}^m$ 上有界、可积，且 $g(x) \ge 0$。定义 $$ F(t) = \int_{\Omega} [f(x) - t] \, g(x) \, dV. $$ 由于 $f$ 和 $g$ 可积，且 $g$ 非负，积分有意义。
对任意 $t_1, t_2 \in [m, M]$，考虑差值的绝对值： $$ |F(t_1) - F(t_2)| = \left| \int_{\Omega} [(f(x)-t_1) - (f(x)-t_2)] g(x) \, dV \right| = \left| \int_{\Omega} (t_2 - t_1) g(x) \, dV \right|. $$ 由于 $t_2 - t_1$ 是常数，且 $g$ 非负，有 $$ |F(t_1) - F(t_2)| = |t_2 - t_1| \cdot \int_{\Omega} g(x) \, dV. $$ 因为 $g$ 可积且有界，积分 $\displaystyle{\int_{\Omega} g \, dV}$ 是一个有限常数（记为 $C$）。于是 $$ |F(t_1) - F(t_2)| \le C \cdot |t_1 - t_2|. $$ 这说明 $F$ 在 $[m, M]$ 上满足 Lipschitz 条件，因此一致连续，当然也是连续的。
**关键步骤说明**：利用积分的线性性质将差值化为常数因子乘以 $g$ 的积分，从而得到 Lipschitz 连续性。
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**(2) 存在 $\mu \in [m, M]$ 使得** $$ \int_{\Omega} f \cdot g \, dV = \mu \cdot \int_{\Omega} g \, dV. $$
考虑函数 $F(t)$ 在端点处的值： $$ F(m) = \int_{\Omega} [f(x) - m] g(x) \, dV. $$ 由于 $m = \inf_{\Omega} f(x)$，故对几乎所有 $x \in \Omega$，有 $f(x) - m \ge 0$，且 $g(x) \ge 0$，因此被积函数非负，从而 $$ F(m) \ge 0. $$ 类似地， $$ F(M) = \int_{\Omega} [f(x) - M] g(x) \, dV. $$ 由于 $M = \sup_{\Omega} f(x)$，故 $f(x) - M \le 0$，且 $g(x) \ge 0$，因此被积函数非正，从而 $$ F(M) \le 0. $$
由 (1) 知 $F(t)$ 在 $[m, M]$ 上连续，且 $F(m) \ge 0$，$F(M) \le 0$。根据介值定理（零点存在定理），存在 $\mu \in [m, M]$ 使得 $$ F(\mu) = 0. $$ 即 $$ \int_{\Omega} [f(x) - \mu] g(x) \, dV = 0. $$ 展开积分得 $$ \int_{\Omega} f(x) g(x) \, dV - \mu \int_{\Omega} g(x) \, dV = 0, $$ 因此 $$ \int_{\Omega} f \cdot g \, dV = \mu \cdot \int_{\Omega} g \, dV. $$
**关键步骤说明**：利用 $F(m) \ge 0$ 和 $F(M) \le 0$ 以及连续性，由介值定理得到零点，从而导出所需等式。这里 $\mu$ 即为加权平均意义下的“中值”。
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综上，结论成立。