📝 题目
6.1.16 设 $f\left( x\right) ,g\left( x\right) \in R\left\lbrack {a,b}\right\rbrack ,D = \left\lbrack {a,b}\right\rbrack \times \left\lbrack {a,b}\right\rbrack$ ,考虑 $\lbrack f\left( x\right) g\left( y\right) -$ $g\left( x\right) f\left( y\right) {\rbrack }^{2}$ 在 $D$ 上的重积分,证明:
$$ {\left( {\int }_{a}^{b}f\left( x\right) g\left( x\right) \mathrm{d}x\right) }^{2} \leq {\int }_{a}^{b}{f}^{2}\left( x\right) \mathrm{d}x \cdot {\int }_{a}^{b}{g}^{2}\left( x\right) \mathrm{d}x. $$
💡 答案与解析
### 题目 6.1.15
**已知**： $D = [a,b] \times [c,d]$，$f(x,y) \in C^2(D)$。
#### (1) 证明： $$ \iint_D f_{xy}''(x,y) \, dx\,dy = \iint_D f_{yx}''(x,y) \, dx\,dy $$
**证明**：
由于 $f \in C^2(D)$，所以二阶混合偏导数 $f_{xy}$ 和 $f_{yx}$ 在 $D$ 上连续，从而可积。 我们直接计算左边的二重积分：
$$ \iint_D f_{xy}''(x,y) \, dx\,dy = \int_a^b \left( \int_c^d \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} \, dy \right) dx $$
先对 $y$ 积分： $$ \int_c^d \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} \, dy = \left. \frac{\partial f}{\partial x}(x,y) \right|_{y=c}^{y=d} = f_x(x,d) - f_x(x,c) $$
再对 $x$ 积分： $$ \int_a^b \left[ f_x(x,d) - f_x(x,c) \right] dx = \left. f(x,d) \right|_{x=a}^{x=b} - \left. f(x,c) \right|_{x=a}^{x=b} = f(b,d) - f(a,d) - f(b,c) + f(a,c) $$
同理，计算右边的二重积分： $$ \iint_D f_{yx}''(x,y) \, dx\,dy = \int_c^d \left( \int_a^b \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} \, dx \right) dy $$
先对 $x$ 积分： $$ \int_a^b \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} \, dx = f_y(b,y) - f_y(a,y) $$
再对 $y$ 积分： $$ \int_c^d \left[ f_y(b,y) - f_y(a,y) \right] dy = \left. f(b,y) \right|_{y=c}^{y=d} - \left. f(a,y) \right|_{y=c}^{y=d} = f(b,d) - f(b,c) - f(a,d) + f(a,c) $$
可见两个结果相等，因此： $$ \iint_D f_{xy}''(x,y) \, dx\,dy = \iint_D f_{yx}''(x,y) \, dx\,dy $$
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#### (2) 利用(1)证明 $f_{xy}''(x,y) = f_{yx}''(x,y)$ 在 $D$ 上处处成立。
**证明**：
假设存在一点 $(x_0,y_0) \in D$ 使得 $f_{xy}''(x_0,y_0) \neq f_{yx}''(x_0,y_0)$。 由于两个偏导数连续，存在一个邻域 $U \subset D$ 使得在该邻域内 $f_{xy}''(x,y) - f_{yx}''(x,y)$ 恒正（或恒负）。 取一个包含在该邻域内的小矩形 $R = [\alpha,\beta] \times [\gamma,\delta]$，则 $$ \iint_R \left( f_{xy}'' - f_{yx}'' \right) dx\,dy \neq 0 $$ 但由(1)的结论，对任意子矩形 $R$ 同样有： $$ \iint_R f_{xy}'' \, dx\,dy = \iint_R f_{yx}'' \, dx\,dy $$ 即差值的积分为零，矛盾。 因此假设不成立，故在 $D$ 上处处有： $$ f_{xy}''(x,y) = f_{yx}''(x,y) $$
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### 题目 6.1.16
**已知**： $f(x), g(x) \in R[a,b]$，$D = [a,b] \times [a,b]$。 考虑 $[f(x)g(y) - g(x)f(y)]^2$ 在 $D$ 上的重积分。
**要证**： $$ \left( \int_a^b f(x)g(x) \, dx \right)^2 \le \int_a^b f^2(x) \, dx \cdot \int_a^b g^2(x) \, dx $$
**证明**：
考虑二重积分： $$ I = \iint_D [f(x)g(y) - g(x)f(y)]^2 \, dx\,dy $$
由于被积函数非负，显然 $I \ge 0$。
展开被积函数： $$ [f(x)g(y) - g(x)f(y)]^2 = f^2(x)g^2(y) - 2 f(x)g(x)f(y)g(y) + g^2(x)f^2(y) $$
于是： $$ I = \iint_D f^2(x)g^2(y) \, dx\,dy - 2 \iint_D f(x)g(x)f(y)g(y) \, dx\,dy + \iint_D g^2(x)f^2(y) \, dx\,dy $$
由于是矩形区域，每个二重积分可以化为累次积分：
第一项： $$ \iint_D f^2(x)g^2(y) \, dx\,dy = \left( \int_a^b f^2(x) \, dx \right) \left( \int_a^b g^2(y) \, dy \right) $$
第二项： $$ \iint_D f(x)g(x)f(y)g(y) \, dx\,dy = \left( \int_a^b f(x)g(x) \, dx \right) \left( \int_a^b f(y)g(y) \, dy \right) = \left( \int_a^b f(x)g(x) \, dx \right)^2 $$
第三项： $$ \iint_D g^2(x)f^2(y) \, dx\,dy = \left( \int_a^b g^2(x) \, dx \right) \left( \int_a^b f^2(y) \, dy \right) = \left( \int_a^b f^2(x) \, dx \right) \left( \int_a^b g^2(x) \, dx \right) $$
因此： $$ I = 2 \left( \int_a^b f^2(x) \, dx \right) \left( \int_a^b g^2(x) \, dx \right) - 2 \left( \int_a^b f(x)g(x) \, dx \right)^2 $$
由 $I \ge 0$ 得： $$ 2 \left( \int_a^b f^2(x) \, dx \right) \left( \int_a^b g^2(x) \, dx \right) - 2 \left( \int_a^b f(x)g(x) \, dx \right)^2 \ge 0 $$
两边除以 2，即得： $$ \left( \int_a^b f(x)g(x) \, dx \right)^2 \le \left( \int_a^b f^2(x) \, dx \right) \left( \int_a^b g^2(x) \, dx \right) $$
这就是柯西-施瓦茨不等式在积分形式下的结论。证毕。
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以上即为两题的完整解答。