📝 题目
例 9 求椭圆 $\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}} + \frac{{y}^{2}}{{b}^{2}} = 1$ 在第一象限中的切线,使它被坐标轴所截的线段最短.
💡 答案与解析
解法 1 由隐函数求导得 $\frac{2x}{{a}^{2}} + \frac{2y}{{b}^{2}}{y}^{\prime } = 0 \Rightarrow {y}^{\prime } = - \frac{{b}^{2}x}{{a}^{2}y}$ . 由求截距公式,得切线在 $x$ 轴上的截距 $= x - \frac{y}{{y}^{\prime }} = \frac{{a}^{2}}{x}$ ,切线在 $y$ 轴上的截距 $=$ $y - x{y}^{\prime } = \frac{{b}^{2}}{y}$ ,被坐标轴所截的切线段长为
$$ l\left( x\right) = \sqrt{\frac{{a}^{4}}{{x}^{2}} + \frac{{b}^{4}}{{y}^{2}}}\;\left( {0 \leq x \leq a}\right) . $$
问题即求 $l\left( x\right) \left( {0 \leq x \leq a}\right)$ 的最小值. 或等价于求 $f\left( x\right) = \frac{{a}^{4}}{{x}^{2}} + \frac{{b}^{4}}{{y}^{2}}$ 的最小值. 从
$$ {f}^{\prime }\left( x\right) = - \frac{2}{{x}^{3}}{a}^{4} - 2\frac{{b}^{4}}{{y}^{3}}{y}^{\prime } = - \frac{2}{{x}^{3}}{a}^{4} - 2\frac{{b}^{4}}{{y}^{3}}\left( {-\frac{{b}^{2}x}{{a}^{2}y}}\right) = 0 $$
$$ \Rightarrow \frac{{a}^{6}}{{x}^{4}} = \frac{{b}^{6}}{{y}^{4}} \Rightarrow \frac{{x}^{2}}{{a}^{3}} = \frac{{y}^{2}}{{b}^{3}}. $$
联立此方程和椭圆方程:
$$ \left\{ {\begin{array}{l} \frac{{x}^{2}}{{a}^{2}} + \frac{{y}^{2}}{{b}^{2}} = 1 \\ \frac{{x}^{2}}{{a}^{3}} = \frac{{y}^{2}}{{b}^{3}} \end{array} \Rightarrow \frac{{x}^{2}}{{a}^{2}} + b\frac{{x}^{2}}{{a}^{3}} = 1 \Rightarrow x = \frac{{a}^{3/2}}{\sqrt{a + b}}}\right. $$
$$ \Rightarrow y = \frac{{b}^{3/2}}{\sqrt{a + b}}\text{ . } $$
于是切线在 $x$ 轴上的截距 $= \frac{{a}^{2}}{\frac{{a}^{3/2}}{\sqrt{a + b}}} = \sqrt{a}\sqrt{a + b}$ ; 切线在 $y$ 轴上的截距 $= \frac{{b}^{2}}{\frac{{b}^{3/2}}{\sqrt{a + b}}} = \sqrt{b}\sqrt{a + b}$ . 故所求切线的截距式方程为
$$ \frac{x}{\sqrt{a}\sqrt{a + b}} + \frac{y}{\sqrt{b}\sqrt{a + b}} = 1. $$
解法 2 椭圆的参数方程为
$$ x = a\cos \theta ,\;y = b\sin \theta \;\left( {0 \leq \theta \leq \frac{\pi }{2}}\right) ,\;{y}^{\prime } = - \frac{b\cos \theta }{a\sin \theta }. $$
由此推出切线方程为
$$ y - b\sin \theta = - \frac{b\cos \theta }{a\sin \theta }\left( {x - a\cos \theta }\right) , $$
化简得
$$ {xb}\cos \theta + {ya}\sin \theta = {ab}. \tag{3.7} $$
由此求出切线在 $x$ 轴上的截距 $= \frac{a}{\cos \theta }$ ,切线在 $y$ 轴上的截距 $= \frac{b}{\sin \theta }$ . 从而被坐标轴所截的切线段长为
$$ l\left( \theta \right) = \sqrt{\frac{{a}^{2}}{{\cos }^{2}\theta } + \frac{{b}^{2}}{{\sin }^{2}\theta }}\;\left( {0 \leq \theta \leq {bp}}\right) . $$
求 $l\left( \theta \right)$ 的最小值等价于求 $f\left( \theta \right) = \frac{{a}^{2}}{{\cos }^{2}\theta } + \frac{{b}^{2}}{{\sin }^{2}\theta }$ 的最小值. 从
$$ {f}^{\prime }\left( \theta \right) = \frac{2{a}^{2}}{{\cos }^{3}\theta }\sin \theta - \frac{2{b}^{2}}{{\sin }^{3}\theta }\cos \theta = 0 \Rightarrow {\tan }^{4}\theta = \frac{{b}^{2}}{{a}^{2}} \Rightarrow \tan \theta = \sqrt{\frac{b}{a}}, $$
从而 $\cos \theta = \sqrt{\frac{b}{a + b}},\sin \theta = \sqrt{\frac{b}{a + b}}$ ,将它们代入 (3.7) 式,得到使 $l\left( \theta \right)$ 达到最小值的切线方程为
$$ a\sqrt{\frac{b}{a + b}}y + b\sqrt{\frac{a}{a + b}}x = {ab}, $$
化简得
$$ \frac{x}{\sqrt{a}\sqrt{a + b}} + \frac{y}{\sqrt{b}\sqrt{a + b}} = 1. $$
评注 如果由实际问题列出的函数 $f\left( x\right)$ 在闭区间 $\left\lbrack {\alpha ,\beta }\right\rbrack$ 上连续,在开区间 $\left( {\alpha ,\beta }\right)$ 内可导,又由实际情况判断函数 $f\left( x\right)$ 在区间内部某一点处必定取得最小值 (或最大值),且 ${f}^{\prime }\left( x\right)$ 在这个区间内部只有一个零点, 则这个零点一定是所要求的最小值点 (或最大值点), 相应的函数值即为要求的最小值 (或最大值). 例如本题解法 1 中的 $f\left( x\right) \left( {0 \leq x \leq a}\right)$ ,解法 2 中的 $f\left( \theta \right) \left( {0 \leq \theta \leq \frac{\pi }{2}}\right)$ ,都是这样的函数.