方企勤 第六章 多元函数积分学 第6.2题
📝 题目
6.2.5 (1)计算积分
$$
I = {\iint }_{{x}^{2} + {y}^{2} \leq {R}^{2}}\ln \frac{1}{\sqrt{{\left( x - h\right) }^{2} + {y}^{2}}}\mathrm{\;d}x\mathrm{\;d}y\;\left( {h > R}\right) ;
$$
(2)写出圆的单层位势
$$
u\left( {a,b}\right) = {\iint }_{{x}^{2} + {y}^{2} \leq {R}^{2}}\ln \frac{1}{\sqrt{{\left( x - a\right) }^{2} + {\left( y - b\right) }^{2}}}\mathrm{\;d}x\mathrm{\;d}y
$$
$$
\left( {{a}^{2} + {b}^{2} > {R}^{2}}\right) \text{ . }
$$
💡 答案解析
6.2.1 计算下列积分
(1)
积分区域 $\Omega$ 由曲线 $(x^2+y^2)^2 = 2xy$ 围成。
观察方程，采用极坐标 $x = r\cos\theta, y = r\sin\theta$，则
$$
(x^2+y^2)^2 = r^4,\quad 2xy = 2r^2\cos\theta\sin\theta = r^2\sin 2\theta
$$
代入得
$$
r^4 = r^2\sin 2\theta \quad\Rightarrow\quad r^2 = \sin 2\theta \quad(r\ge 0)
$$
所以区域由 $\sin 2\theta \ge 0$ 决定，即 $0\le 2\theta\le \pi$ 或 $2\pi\le 2\theta\le 3\pi$，即
$$
0\le\theta\le\frac{\pi}{2},\quad \pi\le\theta\le\frac{3\pi}{2}
$$
被积函数 $x^2+y^2 = r^2$，面积元 $\mathrm{d}x\mathrm{d}y = r\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta$。
积分变为
$$
\iint_\Omega r^2 \cdot r\,\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta = \iint_\Omega r^3 \mathrm{d}r\mathrm{d}\theta
$$
先对 $r$ 积分：
$$
\int_{0}^{\sqrt{\sin 2\theta}} r^3 \mathrm{d}r = \frac{1}{4}\sin^2 2\theta
$$
再对 $\theta$ 积分，注意两个对称区间结果相同，所以
$$
I = 2\cdot \frac14 \int_0^{\pi/2} \sin^2 2\theta \,\mathrm{d}\theta
= \frac12 \int_0^{\pi/2} \frac{1-\cos 4\theta}{2}\mathrm{d}\theta
= \frac14 \left[\theta - \frac{\sin 4\theta}{4}\right]_0^{\pi/2}
= \frac14 \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{8}
$$
因此
$$
\boxed{\frac{\pi}{8}}
$$
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(2)
阿基米德螺线 $r = \theta$，半射线 $\theta = \pi$。区域由 $\theta$ 从 $0$ 到 $\pi$，$r$ 从 $0$ 到 $\theta$ 围成。
被积函数 $x = r\cos\theta$，面积元 $r\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta$。
$$
\iint_\Omega x\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y = \int_{\theta=0}^{\pi} \int_{r=0}^{\theta} r\cos\theta \cdot r\,\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta
= \int_0^{\pi} \cos\theta \left( \int_0^\theta r^2 \mathrm{d}r \right) \mathrm{d}\theta
$$
先算内积分：
$$
\int_0^\theta r^2 \mathrm{d}r = \frac{\theta^3}{3}
$$
于是
$$
I = \frac13 \int_0^{\pi} \theta^3 \cos\theta \,\mathrm{d}\theta
$$
用分部积分：
令 $u=\theta^3, \mathrm{d}v=\cos\theta\mathrm{d}\theta$，则
$$
\int \theta^3\cos\theta \mathrm{d}\theta = \theta^3\sin\theta - \int 3\theta^2\sin\theta \mathrm{d}\theta
$$
再对 $\displaystyle{\int \theta^2\sin\theta\mathrm{d}\theta}$ 分部两次，得到
$$
\int \theta^3\cos\theta\mathrm{d}\theta = (\theta^3 - 6\theta)\sin\theta + (3\theta^2 - 6)\cos\theta + C
$$
代入上下限 $0,\pi$：
在 $\theta=\pi$：$\sin\pi=0,\cos\pi=-1$，得 $ (3\pi^2-6)(-1) = -3\pi^2+6$
在 $\theta=0$：得 $(0-0)\cdot0 + (0-6)\cdot1 = -6$
所以定积分值为 $(-3\pi^2+6) - (-6) = -3\pi^2+12$
乘以 $1/3$ 得
$$
I = \frac13(-3\pi^2+12) = -\pi^2 + 4
$$
因此
$$
\boxed{4 - \pi^2}
$$
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(3)
对数螺线 $r = e^\theta$，半射线 $\theta=0,\theta=\pi/2$。
被积函数 $xy = r^2\cos\theta\sin\theta = \frac12 r^2\sin 2\theta$，面积元 $r\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta$。
$$
\iint_\Omega xy\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y = \int_{\theta=0}^{\pi/2} \int_{r=0}^{e^\theta} \frac12 r^2\sin 2\theta \cdot r\,\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta
= \frac12 \int_0^{\pi/2} \sin 2\theta \left( \int_0^{e^\theta} r^3 \mathrm{d}r \right) \mathrm{d}\theta
$$
内积分：
$$
\int_0^{e^\theta} r^3 \mathrm{d}r = \frac{e^{4\theta}}{4}
$$
于是
$$
I = \frac12 \cdot \frac14 \int_0^{\pi/2} e^{4\theta} \sin 2\theta \,\mathrm{d}\theta
= \frac18 \int_0^{\pi/2} e^{4\theta}\sin 2\theta \,\mathrm{d}\theta
$$
用公式 $\displaystyle \int e^{a\theta}\sin b\theta \mathrm{d}\theta = \frac{e^{a\theta}(a\sin b\theta - b\cos b\theta)}{a^2+b^2}$，这里 $a=4,b=2$，分母 $a^2+b^2=20$。
原函数为
$$
\frac{e^{4\theta}(4\sin 2\theta - 2\cos 2\theta)}{20}
$$
代入上下限：
$\theta=\pi/2$：$\sin\pi=0,\cos\pi=-1$，得 $\frac{e^{2\pi}(0 - 2(-1))}{20} = \frac{2e^{2\pi}}{20} = \frac{e^{2\pi}}{10}$
$\theta=0$：$\sin0=0,\cos0=1$，得 $\frac{1\cdot(0-2)}{20} = -\frac{1}{10}$
相减得 $\frac{e^{2\pi}}{10} - (-\frac{1}{10}) = \frac{e^{2\pi}+1}{10}$
乘以 $1/8$ 得
$$
I = \frac{e^{2\pi}+1}{80}
$$
因此
$$
\boxed{\frac{e^{2\pi}+1}{80}}
$$
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6.2.2 求下列曲面围成的体积
(1)
曲面 $z=xy$，底面 $x^2+y^2 = a^2$，下底面 $z=0$。
体积
$$
V = \iint_{x^2+y^2\le a^2} |xy|\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y
$$
由对称性，四个象限相同，取第一象限 $x,y\ge0$，乘以4。
极坐标：$x=r\cos\theta,y=r\sin\theta$，则
$$
V = 4\int_{\theta=0}^{\pi/2}\int_{r=0}^{a} r^2\cos\theta\sin\theta \cdot r\,\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta
= 4\int_0^{\pi/2} \cos\theta\sin\theta \,\mathrm{d}\theta \int_0^a r^3 \mathrm{d}r
$$
$\displaystyle{\int_0^{\pi/2}\cos\theta\sin\theta\mathrm{d}\theta = \frac12}$，$\displaystyle{\int_0^a r^3\mathrm{d}r = \frac{a^4}{4}}$，所以
$$
V = 4\cdot\frac12\cdot\frac{a^4}{4} = \frac{a^4}{2}
$$
因此
$$
\boxed{\frac{a^4}{2}}
$$
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(2)
曲面 $z = x^2+y^2$ 与平面 $x+y+z=1$ 围成。
交线满足 $x^2+y^2 = 1 - x - y$，即
$$
x^2 + x + y^2 + y = 1 \Rightarrow \left(x+\frac12\right)^2 + \left(y+\frac12\right)^2 = \frac32
$$
这是一个圆。在交线以上是平面，以下是抛物