📝 题目
6. 2.12 设 $\Omega$ 是由平面 $x + y + z = 1,y = 0,z = 0,x = 0$ 围成的区域. 证明
$$ {\iiint }_{\Omega }{x}^{p}{y}^{q}{z}^{s}{\left( 1 - x - y - z\right) }^{t}\mathrm{\;d}x\mathrm{\;d}y\mathrm{\;d}z $$
$$ = \frac{\Gamma \left( {p + 1}\right) \Gamma \left( {q + 1}\right) \Gamma \left( {s + 1}\right) \Gamma \left( {t + 1}\right) }{\Gamma \left( {p + q + s + t + 4}\right) }, $$
其中 $p \geq 0,q \geq 0,s \geq 0,t \geq 0$ .
💡 答案与解析
6.2.12 作变量代换 $x = r{\sin }^{2}\varphi {\cos }^{2}\theta ,y = r{\sin }^{2}\varphi {\sin }^{2}\theta ,z = r{\cos }^{2}\varphi$ .