📝 题目
例 10 周长一定的等腰三角形中,腰与底成何比例时,它绕底边旋转所得旋转体的体积最大?
💡 答案与解析
解 设周长为 ${2l}$ ,腰长为 $x$ ,底长为 ${2y}$ ,则有 ${2x} + {2y} = {2l}$ ,即 $y = l - x$ . 等腰三角形绕底边旋转所得旋转体是由这样两个同样的圆锥组成的,其中每个圆锥高为 $y = l - x$ ,底面半径为 $\sqrt{{x}^{2} - {\left( l - x\right) }^{2}}$ . 于是, 旋转体体积为
$$ V = \frac{2}{3}\pi \left\lbrack {{x}^{2} - {\left( l - x\right) }^{2}}\right\rbrack \left( {l - x}\right) $$
$$ \Rightarrow {V}^{\prime } = \frac{2}{3}\pi \left( {3{l}^{2} - {4lx}}\right) \text{ ,由 }{V}^{\prime } = 0 \Rightarrow x = \frac{3}{4}l\text{ . } $$
由此推出 $y = l - x = \frac{1}{4}l$ ,及 $\frac{x}{2y} = \frac{3}{2}$ . 即腰与底的比为 $\frac{3}{2}$ 时,旋转体的体积最大.