📝 题目
例 11 设 $h > 0$ ,求点(0, h)到曲线 $y = {x}^{2}$ 的最短距离.
💡 答案与解析
解 设点(0, h)到曲线上点 $\left( {x,{x}^{2}}\right)$ 的距离为 $d$ ,则
$$ {d}^{2} = {\left( {x}^{2} - h\right) }^{2} + {x}^{2}, $$
$$ {\left( {d}^{2}\right) }^{\prime } = {2x} - {4hx} + 4{x}^{3}\overset{\text{ 令 }}{ = }0. $$
当 $h \leq \frac{1}{2}$ 时, $x = 0 \Rightarrow d = h$ ;
当 $h > \frac{1}{2}$ 时, $x = \pm \sqrt{h - \frac{1}{2}} \Rightarrow d = \sqrt{h - \frac{1}{4}}$ .
故当 $h \leq \frac{1}{2}$ 时,点(0, h)到曲线 $y = {x}^{2}$ 的最短距离 $d = h$ ; 当 $h < \frac{1}{2}$ 时, 点(0, h)到曲线 $y = {x}^{2}$ 的最短距离 $d = \sqrt{h - \frac{1}{4}}$ .