📝 题目
例 13 如图 2.3 所示,在东西走向的一段笔直的铁路上有 $A,B$ 两城,相距 ${15}\mathrm{\;{km}}$ ,在 $B$ 城正南面 $8\mathrm{\;{km}}$ 的 $C$ 处有一工厂,现要从 $A$ 城把货物运往该厂, 已知每吨货物的铁路运费为 $3\mathrm{\;元}/\mathrm{{km}}$ ,公路运费为 5元 $/\mathrm{{km}}$ . 问在铁路线上的 $D$ 应选在何处,从 $D$ 开始修筑到工厂的公路,才能使 $A\xrightarrow[]{\text{ 铁路 }}D\xrightarrow[]{\text{ 公路 }}C$ 运费最省?
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图 2.3
💡 答案与解析
解 设 $\angle {DCB} = \theta$ ,则总运费
$$ f\left( \theta \right) = 5 \times 8\sec \theta + 3 \times \left( {{15} - 8\tan \theta }\right) = {40}\sec \theta + {45} - {24}\tan \theta , $$
$$ {f}^{\prime }\left( \theta \right) = \frac{40}{{\cos }^{2}\theta }\sin \theta - {24}{\tan }^{2}\theta - {24} = \frac{40}{{\cos }^{2}\theta }\sin \theta - \frac{24}{{\cos }^{2}\theta }{\sin }^{2}\theta - {24} $$
$$ = \frac{1}{{\cos }^{2}\theta }\left( {{40}\sin \theta - {24}}\right) , $$
由 ${f}^{\prime }\left( \theta \right) = 0$ 得 $\sin \theta = \frac{3}{5}$ ,由此得
$$ \tan \theta = \frac{3}{4},\;{BD} = 8\tan \theta = 6\left( \mathrm{\;{km}}\right) . $$