📝 题目
例 3 作函数 $y = \frac{{x}^{3}}{2{\left( x - 1\right) }^{2}}$ 的图形.
💡 答案与解析
解 函数的定义域为 $\left( {-\infty ,1}\right) \cup \left( {1, + \infty }\right)$ . 由定义可求出 ${y}^{\prime }\left( 0\right) = 0$ ; 当 $x \neq 0$ 时,利用对数求导法,得
$$ \frac{{y}^{\prime }}{y} = \frac{3}{x} - \frac{2}{x - 1} = \frac{x - 3}{x\left( {x - 1}\right) } \Rightarrow {y}^{\prime } = \frac{{x}^{2}\left( {x - 3}\right) }{2{\left( x - 1\right) }^{3}}. $$
由 $\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow 1}}y = + \infty}$ ,可知 $x = 1$ 为垂直渐近线. 又因为
$$ \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow \pm \infty }}\frac{y}{x} = \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow \pm \infty }}\frac{{x}^{2}}{2{\left( x - 1\right) }^{2}} = \frac{1}{2}, $$
$$ \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow \pm \infty }}\left\lbrack {y - \frac{x}{2}}\right\rbrack = \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow \pm \infty }}\frac{2{x}^{2} - x}{2{\left( x - 1\right) }^{2}} = 1, $$
所以有斜渐近线 $y = \frac{x}{2} + 1$ . 根据表 2.1 和渐近线,画出函数图形如图 2.5.
表 2.1
\begin{center} \adjustbox{max width=\textwidth}{ \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline $x$ & $\left( {-\infty ,0}\right)$ & 0 & (0,1) & 1 & (1,3) & 3 & $\left( {3, + \infty }\right)$ \\ \cline{1-8} ${y}^{\prime }$ & + & 0 & + & 无定义 & - & 0 & + \\ \cline{1-8} ${y}^{\prime \prime }$ & - & 0 & + & 无定义 & + & + & + \\ \cline{1-8} $y$ & ↗ 凸 & (0,0) 拐点 & ↗ 凹 & 无定义 & ↘ 凹 & $\frac{27}{8}$ 极小值 & ↗ 凹 \\ \cline{1-8} \hline \end{tabular} } \end{center}
评注 本题还可以这样来求渐近线: 利用泰勒公式写出
$$ {x}^{3} = 1 + 3\left( {x - 1}\right) + 3{\left( x - 1\right) }^{2} + {\left( x - 1\right) }^{3} $$
$$ \Rightarrow y = \frac{{x}^{3}}{2{\left( x - 1\right) }^{2}} = \frac{1}{2{\left( x - 1\right) }^{2}} + \frac{3}{2\left( {x - 1}\right) } + \frac{3}{2} + \frac{x - 1}{2} $$
$$ \Rightarrow \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow \pm \infty }}\left\lbrack {y - \frac{x}{2} - 1}\right\rbrack = 0. $$
即知有斜渐近线 $y = \frac{x}{2} + 1$ .
\begin{center} \includegraphics[max width=0.3\textwidth]{images/012.jpg} \end{center} \hspace*{3em}
图 2.5