📝 题目
例 1 设 $f\left( x\right)$ 在(a, b)内可导,且 ${f}^{\prime }\left( x\right)$ 单调. 求证: ${f}^{\prime }\left( x\right)$ 在 (a, b)内连续.
💡 答案与解析
证 $\forall {x}_{0} \in \left( {a,b}\right)$ ,由洛必达法则及 ${f}^{\prime }\left( x\right)$ 的单调性,有
$$ \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow {x}_{0} + 0}}\frac{f\left( x\right) - f\left( {x}_{0}\right) }{x - {x}_{0}} = \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow {x}_{0} + 0}}{f}^{\prime }\left( x\right) = {f}^{\prime }\left( {{x}_{0} + 0}\right) . \tag{5.1} $$
又由条件 ${f}^{\prime }\left( {x}_{0}\right)$ 存在,故从 (5.1) 式得 ${f}^{\prime }\left( {x}_{0}\right) = {f}^{\prime }\left( {{x}_{0} + 0}\right)$ .
同理可推出 ${f}^{\prime }\left( {x}_{0}\right) = {f}^{\prime }\left( {{x}_{0} - 0}\right)$ . 于是 ${f}^{\prime }\left( x\right)$ 在点 ${x}_{0}$ 处连续. 由 ${x}_{0}$ 的任意性,即得 ${f}^{\prime }\left( x\right) \in C\left( {a,b}\right)$ .
评注 根据达布定理,导函数不可能有可去间断点和第一类间断点. 由此可见, 本题结论是由两方面结果合成的; 其一是导函数不可能有可去间断点和第一类间断点; 其二是 ${f}^{\prime }\left( x\right)$ 单调的条件保证, 若有间断点, 只能是可去间断点和第一类间断点. 从而不会出现间断点,也就是 ${f}^{\prime }\left( x\right)$ 连续.