📝 题目
例 2 求证: (1) 当 $\alpha \geq \frac{1}{2}$ 时,有
$$ \ln \left( {1 + \frac{1}{x}}\right) < \frac{x + \alpha }{{x}^{2} + x}\;\left( {\forall x > 0}\right) ; \tag{6.3} $$
(2)当 $\alpha \geq \frac{1}{2}$ 时,函数 $f\left( x\right) = {\left( 1 + \frac{1}{x}\right) }^{x + \alpha }$ 在 $\left( {0, + \infty }\right)$ 上严格单调递减；
(3)若数集 $A\overset{\text{ 定义 }}{ = }\left\{ {\alpha \left| {\;{\left( 1 + \frac{1}{x}\right) }^{x + a} > \mathrm{e}\left( {\forall x > 0}\right) }\right. }\right\}$ ,则
$$ A = \left\lbrack {\frac{1}{2}, + \infty }\right) . $$
💡 答案与解析
证 (1) 令 $g\left( x\right) \overset{\text{ 定义 }}{ = }\ln \left( {1 + \frac{1}{x}}\right) - \frac{x + \alpha }{{x}^{2} + x}$ . 为了证明 (6.3) 式,只需证明 $g\left( x\right) < 0$ . 事实上,当 $\alpha \geq \frac{1}{2}$ 时,
$$ {g}^{\prime }\left( x\right) = \frac{\alpha + \left( {{2\alpha } - 1}\right) x}{{x}^{2}{\left( x + 1\right) }^{2}} > 0 \Rightarrow g\left( x\right) \uparrow , $$
又 $\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow + \infty }}g\left( x\right) = 0$ ,故 $g\left( x\right) < 0$ .
(2)为证明 $f\left( x\right)$ 严格单调递减,只需证明 ${f}^{\prime }\left( x\right) < 0$ . 用对数求导法, 有
$$ \ln f\left( x\right) = \left( {x + \alpha }\right) \ln \left( {1 + \frac{1}{x}}\right) \Rightarrow {f}^{\prime }\left( x\right) = f\left( x\right) \cdot g\left( x\right) $$
$$ \text{ 由第 (1) 小题 }\;{f}^{\prime }\left( x\right) < 0\text{ . } $$
(3) 一方面,因为 $\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow + \infty }}{\left( 1 + \frac{1}{x}\right) }^{x + a} = \mathrm{e}$ ,又根据第 (2) 小题结论, 当 $\alpha \geq \frac{1}{2}$ 时, ${\left( 1 + \frac{1}{x}\right) }^{x + \alpha }$ 严格单调递减,所以
$$ \alpha \in \left\lbrack {\frac{1}{2}, + \infty }\right) \Rightarrow {\left( 1 + \frac{1}{x}\right) }^{x + \alpha } > \mathrm{e}\left( {\forall x > 0}\right) \Rightarrow \alpha \in A. $$
另一方面,对 $\forall \alpha \in A$ ,有
$$ {\left( 1 + \frac{1}{x}\right) }^{x + a} > \mathrm{e}\;\left( {\forall x > 0}\right) $$
$$ \Rightarrow {\ln }^{2}\left( {1 + \frac{1}{x}}\right) > \frac{1}{{\left( x + \alpha \right) }^{2}}\;\left( {\forall x > 0}\right) . \tag{6.4} $$
再用