📝 题目
例 3 求证:
(1) $\ln \frac{b}{a} > \frac{2\left( {b - a}\right) }{b + a}\left( {b > a > 0}\right)$ ;
(2) $\left( {{x}^{2} - 1}\right) \ln x \geq 2{\left( x - 1\right) }^{2}\;\left( {\forall x > 0}\right)$ .
思路 (1) 注意到原不等式中的两个参数具有齐次关系, 若令 $x = \frac{b}{a}$ ,就把两个参数转化为一个参数作为变量. 那么本题就是要证明:
$$ \ln x > \frac{2\left( {x - 1}\right) }{x + 1}\;\left( {\forall x > 1}\right) . \tag{6.6} $$
(2)考虑
$$ \left( {{x}^{2} - 1}\right) \ln x \geq 2{\left( x - 1\right) }^{2}\;\left( {\forall x > 0}\right) $$
$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{ll} \left( {x + 1}\right) \ln x > 2\left( {x - 1}\right) , & \forall x > 1, \\ \left( {x + 1}\right) \ln x \leq 2\left( {x - 1}\right) , & \forall 0 < x \leq 1. \end{array}\right. \tag{6.7} $$
💡 答案与解析
证(1)作辅助函数 $f\left( x\right) = \ln x - \frac{2\left( {x - 1}\right) }{x + 1}$ ,则有
$$ {f}^{\prime }\left( x\right) = \frac{1}{x} - \frac{4}{{\left( 1 + x\right) }^{2}} = \frac{{\left( 1 - x\right) }^{2}}{x{\left( 1 + x\right) }^{2}} > 0\;\left( {\forall x > 1}\right) . $$
因此当 $x > 1$ 时, $f\left( x\right)$ 严格单调增加,从而 $f\left( x\right) > f\left( 1\right) = 0\left( {\forall x > 1}\right)$ , 即得 (6.6)式.
(2)注意到(6.7)式中的第一个不等式就是(6.6)式；而(6.7)式中的第二个不等式,当 $x = 1$ 时,显然等号成立; 当 $0 < x < 1$ 时,令 $t = \frac{1}{x}$ ,则 $t > 1$ . 对 $t$ 用不等式 (6.6),则有
$$ - \ln x = \ln t > \frac{2\left( {t - 1}\right) }{t + 1} = \frac{2\left( {\frac{1}{x} - 1}\right) }{\frac{1}{x} + 1} = \frac{2\left( {1 - x}\right) }{x + 1} $$
$$ \Rightarrow \left( {x + 1}\right) \ln x < 2\left( {x - 1}\right) \;\left( {\forall 0 < x < 1}\right) . $$
即 (6.7) 式中的第二个不等式当 $0 < x < 1$ 时成立.