📝 题目
例 4 求证: $\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\frac{{a}^{n}}{n!} = 0\left( {a > 0}\right)$ .
💡 答案与解析
证 当 $\left\lbrack a\right\rbrack = 0$ 时,即 $0 < a < 1$ 时, $0 < \frac{{a}^{n}}{n!} < \frac{1}{n}$ 结论显然成立. 当 $\left\lbrack a\right\rbrack \neq 0$ ,即 $a \geq 1$ 时,设 $n > \left\lbrack a\right\rbrack$ ,则有
$$ 0 < \frac{{a}^{n}}{n!} = \frac{a}{1} \cdot \frac{a}{2} \cdot \frac{a}{3} \cdot \cdots \cdot \frac{a}{\left\lbrack a\right\rbrack } \cdot \frac{a}{\left\lbrack a\right\rbrack + 1} \cdot \cdots \cdot \frac{a}{n} $$
$$ < \frac{{a}^{\left\lbrack a\right\rbrack }}{\left\lbrack a\right\rbrack !} \cdot \frac{a}{n} = \frac{{a}^{\left\lbrack a\right\rbrack + 1}}{\left\lbrack a\right\rbrack !} \cdot \frac{1}{n}. \tag{3.1} $$
因为 $\frac{{a}^{\left\lbrack a\right\rbrack + 1}}{\left\lbrack a\right\rbrack !}$ 是一个固定的数,所以 $\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\frac{{a}^{\left\lbrack a\right\rbrack + 1}}{\left\lbrack a\right\rbrack !} \cdot \frac{1}{n} = 0}$ ,由夹挤准则及 (3.1) 式推出 $\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\frac{{a}^{n}}{n!} = 0}$ .