📝 题目
例 5 设 $1 < a < b,f\left( x\right) = \frac{1}{x} + \ln x$ ,求证:
$$ 0 < f\left( b\right) - f\left( a\right) \leq \frac{1}{4}\left( {b - a}\right) . $$
💡 答案与解析
证 根据微分中值定理, $\exists \xi \in \left( {a,b}\right)$ ,使得
$$ f\left( b\right) - f\left( a\right) = {f}^{\prime }\left( \xi \right) \left( {b - a}\right) = \frac{\xi - 1}{{\xi }^{2}}\left( {b - a}\right) \;\left( {\xi > a > 1}\right) . $$
(6.8)
因为 (6.8) 式的右端 $> 0$ ,所以 $f\left( b\right) - f\left( a\right) > 0$ . 作辅助函数
$$ g\left( x\right) = \frac{x - 1}{{x}^{2}}\;\left( {x > 1}\right) . $$
因为
$$ {g}^{\prime }\left( x\right) = \frac{x\left( {2 - x}\right) }{{x}^{2}}\left\{ \begin{array}{ll} > 0 & \left( {1 < x < 2}\right) , \\ = 0 & \left( {x = 2}\right) , \\ < 0 & \left( {x > 2}\right) , \end{array}\right. $$
由此可见 $x = 2$ 是函数 $g\left( x\right)$ 在 $\left( {0, + \infty }\right)$ 内的惟一极值点,并且是极大值点. 从而 $x = 2$ 是函数 $g\left( x\right)$ 的最大值点. 于是 $g\left( x\right) \leq g\left( 2\right) = 1$ / 4. 于是本题结论成立.
评注 本题所构造的辅助函数,是将 (6.8) 式右端中的 $\xi$ 换为 $x$ 改造来的,辅助函数的定义域就是 $\xi$ 的取值范围. (6.8) 式右端每取一个 $\xi$ 值,都给出 (6.8) 式左端 $f\left( b\right) - f\left( a\right)$ 的一个估计,对所构造的辅助函数求极值、最值,目的就是在 $\xi$ 的一切取值范围内找出 (6.8) 式左端 $f\left( b\right) - f\left( a\right)$ 的最好估计.