📝 题目
例 6 求证: $2\arctan x < 3\ln \left( {1 + x}\right) \left( {\forall x > 0}\right)$ .
分析 只要证明 $\frac{\arctan x}{\ln \left( {1 + x}\right) } < \frac{3}{2}\left( {\forall x > 0}\right)$ .
💡 答案与解析
证 对任意给定的 $x > 0$ ,由柯西中值定理, $\exists \xi \in \left( {0,x}\right)$ ,使得
$$ \frac{\arctan x}{\ln \left( {1 + x}\right) } = \frac{\arctan x - \arctan 0}{\ln \left( {1 + x}\right) - \ln \left( {1 + 0}\right) } = \frac{\frac{1}{1 + {\xi }^{2}}}{\frac{1}{1 + \xi }} = \frac{1 + \xi }{1 + {\xi }^{2}}, $$
$$ \xi \in \left( {0,x}\right) \text{ . } $$
只需再证明
$$ \frac{1 + \xi }{1 + {\xi }^{2}} < \frac{3}{2}\;\left( {\xi > 0}\right) . \tag{6.9} $$
将 (6.9) 式左端中的 $\xi$ 变易为 $x$ 作辅助函数 $f\left( x\right) = \frac{1 + x}{1 + {x}^{2}}\left( {x > 0}\right)$ .
$$ {f}^{\prime }\left( x\right) = \frac{-{x}^{2} - {2x} + 1}{{\left( 1 + {x}^{2}\right) }^{2}}\left\{ \begin{array}{ll} > 0, & 0 < x < \sqrt{2} \\ = 0, & x = \sqrt{2} - 1, \\ < 0, & x > \sqrt{2} - 1. \end{array}\right. $$
由此可见 $x = \sqrt{2} - 1$ 是函数 $f\left( x\right)$ 在 $\left( {0, + \infty }\right)$ 内的惟一极值点,并且是极大值点. 从而 $x = \sqrt{2} - 1$ 是函数 $f\left( x\right)$ 的最大值点. 于是
$$ f\left( x\right) = \frac{1 + x}{1 + {x}^{2}} \leq f\left( {\sqrt{2} - 1}\right) = \frac{\sqrt{2} + 1}{2} < \frac{3}{2}\;\left( {x > 0}\right) . $$
(6.10)
显然由 (6.10) 式推出 (6.9) 式, 所以本题结论成立.