📝 题目
例 9 设 $p,q > 0$ ,且 $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$ ,又设 $a > 0,b > 0$ ,求证:
$$ {ab} \leq \frac{1}{p}{a}^{p} + \frac{1}{q}{b}^{q}. $$
思路 只要证原不等式两边取对数得到的不等式, 即
$$ \ln \left( {ab}\right) \leq \ln \left( {\frac{1}{p}{a}^{p} + \frac{1}{q}{b}^{q}}\right) . \tag{6.14} $$
💡 答案与解析
证 考虑函数 $f\left( x\right) = \ln x$ ,因为 ${f}^{\prime \prime }\left( x\right) = - \frac{1}{{x}^{2}}\left( {\forall x > 0}\right)$ ,所以 $f\left( x\right)$ 在 $\left( {0, + \infty }\right)$ 上是凸函数,由凸函数定义,
$$ f\left( {\frac{1}{p}{a}^{p} + \frac{1}{q}{b}^{q}}\right) \geq \frac{1}{p}f\left( {a}^{p}\right) + \frac{1}{q}f\left( {b}^{q}\right) $$
$$ = \frac{1}{p}\ln {a}^{p} + \frac{1}{q}\ln {b}^{q} = \ln \left( {ab}\right) . \tag{6.15} $$
因为 $f\left( x\right) = \ln x$ ,所以 (6.15) 式就是要证的 (6.14) 式.