📝 题目
例 10 求证: ${\mathrm{e}}^{x} > 1 + x + \frac{{x}^{2}}{2}\left( {x > 0}\right) ;{\mathrm{e}}^{x} < 1 + x + \frac{{x}^{2}}{2}\left( {x < 0}\right)$ .
💡 答案与解析
证 令 $f\left( x\right) = {\mathrm{e}}^{x} - \frac{1}{2}{x}^{2}$ ,则 $f\left( 0\right) = 1,{f}^{\prime }\left( x\right) = {\mathrm{e}}^{x} - x,{f}^{\prime }\left( 0\right) = 1$ . 因此,函数 $f\left( x\right)$ 在点 $x = 0$ 处的切线方程是 $y = 1 + x$ . 又
$$ {f}^{\prime \prime }\left( x\right) = {\mathrm{e}}^{x} - 1\left\{ \begin{array}{ll} > 0 & \left( {x < 0}\right) \Rightarrow f\left( x\right) \text{ 在 }\left( {-\infty ,0}\right) \text{ 上是凸函数 } \\ = 0 & \left( {x = 0}\right) \Rightarrow \left( {0,1}\right) \text{ 是函数 }f\left( x\right) \text{ 的拐点; } \\ < 0 & \left( {x > 0}\right) \Rightarrow f\left( x\right) \text{ 在 }\left( {0, + \infty }\right) \text{ 上是凹函数 } \end{array}\right. $$
因为 $f\left( x\right)$ 在 $\left( {-\infty ,0}\right)$ 上是凸函数,所以曲线 $y = f\left( x\right)$ 在点 $x = 0$ 处的切线下方,即 ${\mathrm{e}}^{x} < 1 + x + \frac{{x}^{2}}{2}\left( {x < 0}\right)$ ; 又因为 $f\left( x\right)$ 在 $\left( {0, + \infty }\right)$ 上是凹函数,所以曲线 $y = f\left( x\right)$ 在点 $x = 0$ 处的切线上方,即
$$ {\mathrm{e}}^{x} > 1 + x + \frac{{x}^{2}}{2}\;\left( {x > 0}\right) . $$