📝 题目
例 12 求证:
(1)当 $0 < x < \frac{\pi }{2}$ 时,有 $\sin x > \frac{2x}{\pi }$ ；
( 2 )如果 $\bigtriangleup {ABC}$ 是锐角三角形,那么 $\sin A + \sin B + \sin C > 2$ .
分析 曲线 $y = \sin x$ 在 $\left\lbrack {0,\frac{\pi }{2}}\right\rbrack$ 上连续,且 ${y}^{\prime \prime } = - \sin x < 0$ 在 $\left( {0,\frac{\pi }{2}}\right)$ 内成立,从而曲线 $\sin x$ 是 $\left( {0,\frac{\pi }{2}}\right)$ 上的严格凸函数,在 $\left( {0,\frac{\pi }{2}}\right)$ 内它必在其端点(0,0)与 $\left( {\frac{\pi }{2},1}\right)$ 的连线 $y = \frac{2x}{\pi }$ 的上方. 这正是要证不等式的几何意义.
💡 答案与解析
证 (1) 设 $f\left( x\right) = \sin x$ ,则有
$$ f\left( x\right) = f\left\lbrack {\frac{2x}{\pi } \cdot \frac{\pi }{2} + \left( {1 - \frac{2x}{\pi }}\right) \cdot 0}\right\rbrack $$
$$ \geq \frac{2x}{\pi }f\left( \frac{\pi }{2}\right) + \left( {1 - \frac{2x}{\pi }}\right) \cdot f\left( 0\right) = \frac{2x}{\pi }. $$
(2)利用第 (1) 小题, 有
$$ \sin A > \frac{2}{\pi }A,\;\sin B > \frac{2}{\pi }B,\;\sin C > \frac{2}{\pi }C, $$
由此得 $\sin A + \sin B + \sin C > \frac{{2A} + {2B} + {2C}}{\pi } = 2$ .