第二章 一元函数微分学 · 第14题

解 令 $f\left( x\right) = {x}^{2} - x\sin x - \cos x$ ,注意到 $f\left( x\right)$ 是偶函数,只需证在 $\left( {0, + \infty }\right)$ 上恰有一个根. 事实上, 因为

$$ f\left( 0\right) = - 1, $$

$$ \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow + \infty }}f\left( x\right) = \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow + \infty }}{x}^{2}\left( {1 - \frac{\sin x}{x} - \frac{\cos x}{{x}^{2}}}\right) = + \infty , $$

所以 $f\left( x\right) = 0$ 在 $\left( {0, + \infty }\right)$ 上有一个根. 又

$$ {f}^{\prime }\left( x\right) = x\left( {2 - \cos x}\right) > 0\;\left( {\forall x > 0}\right) , $$

即函数 $f\left( x\right)$ 在 $\left( {0, + \infty }\right)$ 上严格单调增加,故 $f\left( x\right) = 0$ 在 $\left( {0, + \infty }\right)$ 上有且只有一个根. 如图 2.8 所示.