📝 题目
例 1 求下列不定积分:
(1) $\displaystyle \int \frac{{\left( x - 1\right) }^{2}}{\sqrt{x}}\mathrm{\;d}x$ ; (2) $\displaystyle \int {\left( {\mathrm{e}}^{x} + {\mathrm{e}}^{-x}\right) }^{2}\mathrm{\;d}x$ .
💡 答案与解析
解 (1) 原式 $= \int \left( {{x}^{\frac{3}{2}} - 2{x}^{\frac{1}{2}} + {x}^{-\frac{1}{2}}}\right) \mathrm{d}x$
$$ = 2\sqrt{x} - \frac{4}{3}{x}^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{5}{x}^{\frac{5}{2}} + C. $$
(2)原式 $= \int \left( {{\mathrm{e}}^{2x} + 2 + {\mathrm{e}}^{-{2x}}}\right) \mathrm{d}x$
$$ = \frac{1}{2}{\mathrm{e}}^{-{2x}}\left( {{\mathrm{e}}^{4x} + {4x}{\mathrm{e}}^{2x} - 1}\right) + C. $$