📝 题目
例 4 求不定积分 $\displaystyle{\int \frac{\mathrm{d}x}{1 + \sin x}}$ .
💡 答案与解析
解法 1 原式 $= \int \frac{\mathrm{d}x}{1 + \cos \left( {\frac{\pi }{2} - x}\right) } = - \int \frac{\mathrm{d}\left( {\frac{\pi }{4} - \frac{x}{2}}\right) }{{\cos }^{2}\left( {\frac{\pi }{4} - \frac{x}{2}}\right) }$
$$ = - \tan \left( {\frac{\pi }{4} - \frac{x}{2}}\right) + C. $$
解法 2 原式 $\displaystyle{= \int \frac{1 - \sin x}{{\cos }^{2}x}\mathrm{\;d}x = \tan x - \frac{1}{\cos x} + C}$ .
解法 3 原式 $= \int \frac{\mathrm{d}x}{{\left( \cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2}\right) }^{2}} = 2\int \frac{\mathrm{d}\tan \frac{x}{2}}{{\left( 1 + \tan \frac{x}{2}\right) }^{2}}$
$$ = - \frac{2}{1 + \tan \frac{x}{2}} + C\text{ . } $$