📝 题目
例 7 求 $\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\sqrt[n]{\frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \cdots \cdot \left( {{2n} - 1}\right) }{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \cdots \cdot \left( {2n}\right) }}$ .
💡 答案与解析
解 因为
$$ \frac{1}{2n} \leq \frac{3}{2} \cdot \frac{5}{4} \cdot \frac{7}{6} \cdot \cdots \cdot \frac{{2n} - 1}{{2n} - 2} \cdot \frac{1}{2n} = \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \cdots \cdot \left( {{2n} - 1}\right) }{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \cdots \cdot \left( {2n}\right) } \leq 1, $$
所以
$$ \frac{1}{\sqrt[n]{2}\sqrt[n]{n}} \leq \sqrt[n]{\frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \cdots \cdot \left( {{2n} - 1}\right) }{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \cdots \cdot \left( {2n}\right) }} \leq 1 $$
$$ \Rightarrow \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\sqrt[n]{\frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \cdots \cdot \left( {{2n} - 1}\right) }{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \cdots \cdot \left( {2n}\right) }} = 1\text{ . } $$