📝 题目
例 13 求不定积分 $\displaystyle{\int \arcsin \frac{2\sqrt{x}}{1 + x}\mathrm{\;d}x}$ .
💡 答案与解析
解法 1
$$ \text{ 原式 } = \int \arcsin \frac{2\sqrt{x}}{1 + x}\mathrm{\;d}\left( {x + 1}\right) $$
$$ \overset{\text{ 分部积分 }}{ = }\left( {x + 1}\right) \arcsin \frac{2\sqrt{x}}{1 + x} + \int \frac{1}{\sqrt{x}}\mathrm{\;d}x $$
$$ = \left( {1 + x}\right) \arcsin \frac{2\sqrt{x}}{1 + x} + 2\sqrt{x} + C. $$
评注 本解法中,注意到被积函数 $\arcsin \frac{2\sqrt{x}}{1 + x}$ 的分母含有 $x + 1$ ,故将 $\mathrm{d}x\overset{\text{ 写成 }}{ = }\mathrm{d}\left( {x + 1}\right)$ ,这样分部积分后容易化简.
解法 2
$$ \text{ 原式 }\frac{u = \sqrt{x}}{}2\int u\arcsin \frac{2u}{1 + {u}^{2}}\mathrm{\;d}u $$
$$ \overset{\text{ 分部积分 }}{ = }{u}^{2}\arcsin 2\frac{u}{1 + {u}^{2}} + \int \frac{2{u}^{2}}{1 + {u}^{2}}\mathrm{\;d}u $$
$$ = {u}^{2}\arcsin 2\frac{u}{1 + {u}^{2}} + {2u} - 2\arctan u + C $$
$$ = x\arcsin \frac{2\sqrt{x}}{1 + x} + 2\sqrt{x} - 2\arctan \sqrt{x} + C. $$