📝 题目
例 19 求不定积分 $\displaystyle{\int \frac{{\mathrm{e}}^{x}\mathrm{\;d}x}{{\mathrm{e}}^{x} + {\mathrm{e}}^{-x}}}$ .
💡 答案与解析
解法 1 原式 $= \int \frac{{\mathrm{e}}^{2x}}{1 + {\mathrm{e}}^{2x}}\mathrm{\;d}x = \frac{1}{2}\int \frac{\mathrm{d}\left( {{\mathrm{e}}^{2x} + 1}\right) }{1 + {\mathrm{e}}^{2x}} = \frac{1}{2}\ln \left( {1 + {\mathrm{e}}^{2x}}\right) + C$ .
解法 2 令 $\displaystyle{I = \int \frac{{\mathrm{e}}^{x}\mathrm{\;d}x}{{\mathrm{e}}^{x} + {\mathrm{e}}^{-x}},J = \int \frac{{\mathrm{e}}^{-x}\mathrm{\;d}x}{{\mathrm{e}}^{x} + {\mathrm{e}}^{-x}}}$ ,则有
$$ I + J = \int \frac{\left( {{\mathrm{e}}^{x} + {\mathrm{e}}^{-x}}\right) \mathrm{d}x}{{\mathrm{e}}^{x} + {\mathrm{e}}^{-x}} = x + C, $$
$$ I - J = \int \frac{\left( {{\mathrm{e}}^{x} - {\mathrm{e}}^{-x}}\right) \mathrm{d}x}{{\mathrm{e}}^{x} + {\mathrm{e}}^{-x}} = \ln \left( {{\mathrm{e}}^{x} + {\mathrm{e}}^{-x}}\right) + C. $$
由此解出
$$ \text{ 原式 } = \frac{x}{2} + \frac{1}{2}\ln \left( {{\mathrm{e}}^{x} + {\mathrm{e}}^{-x}}\right) + C\text{ . } $$