📝 题目
例 8 设 ${x}_{n} = \frac{1! + 2! + \cdots + n!}{n!}$ ,求 $\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{x}_{n}}$ .
💡 答案与解析
解 注意到分子当 $n > 2$ 时,
$$ n! < \underset{n - 2}{\underbrace{1! + 2! + 3! + \cdots + \left( {n - 2}\right) !}} + \left( {n - 1}\right) ! + n! $$
$$ < \left( {n - 2}\right) \left( {n - 2}\right) ! + \left( {n - 1}\right) ! + n! < 2\left( {n - 1}\right) ! + n!. $$
因此,当 $n > 2$ 时, $\displaystyle{1 < {x}_{n} < 1 + \frac{2}{n} \Rightarrow \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{x}_{n} = 1}$ .