📝 题目
证 因为
$$ {I}_{n} - {I}_{n - 2} = \int \frac{\sin {nx} - \sin \left( {n - 2}\right) x}{\sin x}\mathrm{\;d}x $$
$$ = 2\int \frac{\cos \left( {n - 1}\right) x\sin x}{\sin x}\mathrm{\;d}x, $$
所以
$$ {I}_{n} = \frac{2}{n - 1}\sin \left( {n - 1}\right) x + {I}_{n - 2}\;\left( {n > 2}\right) . $$
评注 建立积分递推公式, 主要是用分部积分法, 但并非只有分部积分法可用, 本题用分部积分法就很难奏效.
💡 答案与解析
证 因为
$$ {I}_{n} - {I}_{n - 2} = \int \frac{\sin {nx} - \sin \left( {n - 2}\right) x}{\sin x}\mathrm{\;d}x $$
$$ = 2\int \frac{\cos \left( {n - 1}\right) x\sin x}{\sin x}\mathrm{\;d}x, $$
所以
$$ {I}_{n} = \frac{2}{n - 1}\sin \left( {n - 1}\right) x + {I}_{n - 2}\;\left( {n > 2}\right) . $$
评注 建立积分递推公式, 主要是用分部积分法, 但并非只有分部积分法可用, 本题用分部积分法就很难奏效.