📝 题目
例 1 求极限 $\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\frac{1}{n}\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}\sin \frac{k\pi }{n}}$ .
思路 把上面极限看成函数 $f\left( x\right) = \sin {\pi x}$ 在 $\left\lbrack {0,1}\right\rbrack$ 上的黎曼和.
💡 答案与解析
解 $\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\frac{1}{n}\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}\sin \frac{k\pi }{n} = {\int }_{0}^{1}\sin {\pi x}\mathrm{\;d}x = \frac{2}{\pi }}$ .