📝 题目
例 4 若 $f\left( x\right)$ 是连续的且以 $T$ 为周期的周期函数,求证: $f\left( x\right)$ 的任一原函数是以 $T$ 为周期的周期函数与线性函数之和.
思路 只要证明 $\displaystyle{\int }_{0}^{x}f\left( t\right) \mathrm{d}t = \varphi \left( x\right) + {kx}$ ,其中 $\varphi \left( x\right)$ 是以 $T$ 为周期的周期函数, $k$ 是待定常数. 由 $\varphi \left( T\right) = \varphi \left( 0\right) = 0$ ,容易确定
$$ k = \frac{1}{T}{\int }_{0}^{T}f\left( t\right) \mathrm{d}t $$
💡 答案与解析
证 作辅助函数 $\varphi \left( x\right) = {\int }_{0}^{x}f\left( t\right) \mathrm{d}t - \frac{x}{T}{\int }_{0}^{T}f\left( t\right) \mathrm{d}t$ ,则有
$$ \varphi \left( {x + T}\right) - \varphi \left( x\right) = {\int }_{x}^{x + T}f\left( t\right) \mathrm{d}t - {\int }_{0}^{T}f\left( t\right) \mathrm{d}t. $$
再由