📝 题目
例 26 设 $f\left( x\right) \in C\left\lbrack {a,b}\right\rbrack$ ,且在(a, b)上有 $m$ 个零点,如果每个零点的左、右邻域内 $f\left( x\right)$ 的符号相反,又
$$ {\int }_{a}^{b}{x}^{n}f\left( x\right) \mathrm{d}x = 0\;\left( {n = 0,1,\cdots ,m}\right) . \tag{3.36} $$
求证: $f\left( x\right) \equiv 0$ .
💡 答案与解析
证 设 $a < {x}_{1} < {x}_{2} < \cdots < {x}_{m} < b$ 是 $f\left( x\right)$ 在(a, b)上的 $m$ 个零点, 且不妨设 $f\left( x\right) > 0.\left( {\forall x \in \left( {a,{x}_{1}}\right) }\right)$ . 令 $p\left( x\right) \overset{\text{ 定义 }}{ = }\left( {{x}_{1} - x}\right) \left( {{x}_{2} - x}\right) \cdots$ $\left( {{x}_{m} - x}\right)$ ,则有
$$ f\left( x\right) p\left( x\right) \neq 0\;\left( {\forall x \in \left( {a,b}\right) }\right) . $$
又 $\displaystyle{\int }_{a}^{b}f\left( x\right) p\left( x\right) \frac{\text{ 因为 }\left( {3.36}\right) \text{ 式 }}{}0$ ,故有
$$ f\left( x\right) p\left( x\right) \equiv 0\overset{p\left( x\right) ≢ 0}{ \Rightarrow }f\left( x\right) \equiv 0. $$