📝 题目
例 28 求证: $\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{\int }_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{n}x\mathrm{\;d}x = 0}$ .
💡 答案与解析
证 对 $\forall \varepsilon > 0$ ,不妨设 $\varepsilon < \pi$ ,则对 $\forall n \in N$ ,有
$$ 0 \leq {\int }_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{n}x\mathrm{\;d}x = {\int }_{0}^{\frac{\pi - e}{2}}{\sin }^{n}x\mathrm{\;d}x + {\int }_{\frac{\pi - e}{2}}^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{n}x\mathrm{\;d}x $$
$$ \leq \frac{\pi }{2}{\sin }^{n}\frac{\pi - \varepsilon }{2} + \frac{\varepsilon }{2}. \tag{3.38} $$
又因为 $0 < \sin \frac{\pi - \varepsilon }{2} < 1$ ,推知 $\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{\sin }^{n}\frac{\pi - \varepsilon }{2} = 0}$ . 从而对上述的 $\varepsilon$ , $\exists N$ ,使得当 $n > N$ 时,
$$ \frac{\pi }{2}{\sin }^{n}\frac{\pi - \varepsilon }{2} < \frac{\varepsilon }{2}. \tag{3.39} $$
联合 (3.38) 与 (3.39) 式,即得 $0 \leq {\int }_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{n}x\mathrm{\;d}x < \varepsilon \left( {n > N}\right)$ ,故
$$ \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{\int }_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{n}x\mathrm{\;d}x = 0. $$
提问 本题如下证法是否正确? 由积分中值定理得
$$ \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{\int }_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{n}x\mathrm{\;d}x = {\sin }^{n}\xi {\int }_{0}^{\frac{\pi }{2}}\mathrm{\;d}x = \frac{\pi }{2}{\sin }^{n}\xi . $$
又 $0 < \sin \xi < 1$ ,故有
$$ \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{\int }_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{n}x\mathrm{\;d}x = \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\frac{\pi }{2}{\sin }^{n}\xi = 0. $$
解答 这个证明是错误的. 错误在于 $\xi$ 不是常数,而是随着 $n$ 变化而变化的,应记作 ${\xi }_{n}$ ,当 ${\xi }_{n} \rightarrow \frac{\pi }{2}$ 时, ${\sin }^{n}{\xi }_{n}$ 为 $\displaystyle{1}^{\infty }}$ 未定型. 一般说来, 从序列 $\left\{ {x}_{n}\right\}$ 满足 $0 < {x}_{n} < 1$ ,不能推出 $\displaystyle{\lim {x}_{n} = 0}$ . 例如 ${x}_{n} = \frac{n}{n + 1}$ ,虽然满足 $0 < {x}_{n} < 1$ ,但是
$$ \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{x}_{n}^{n} = \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{\left( \frac{n}{n + 1}\right) }^{n} = \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\frac{1}{{\left( 1 + \frac{1}{n}\right) }^{n}} = \frac{1}{\mathrm{e}} \neq 0. $$
因此,本题不能根据 $0 < \sin {\xi }_{n} < 1$ ,推出 $\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\frac{\pi }{2}{\sin }^{n}{\xi }_{n} = 0}$ .