📝 题目
例 34 求证: $\pi$ 是无理数.
💡 答案与解析
证 用反证法. 假设 $\pi$ 是有理数,那么可设 $\pi = \frac{a}{b}$ ,其中 $a,b$ 都是正整数. 令
$$ f\left( x\right) \overset{\text{ 定义 }}{ = }\frac{{x}^{n}{\left( a - bx\right) }^{n}}{n!}. $$
显然 $f\left( x\right)$ 是 ${2n}$ 次多项式,它的马克劳林展开式为
$$ f\left( x\right) = {a}^{n}\mathop{\sum }\limits_{{k = 0}}^{n}{\left( -1\right) }^{k}\frac{1}{k!\left( {n - k}\right) !}{\left( \frac{b}{a}\right) }^{k}{x}^{k + n}, $$
由此推出
$$ {f}^{\left( k\right) }\left( 0\right) = \left\{ \begin{matrix} 0, & 0 \leq k \leq n - 1 \\ {\left( -1\right) }^{k}{a}^{n - k}{b}^{k}, & n \leq k \leq {2n}, \end{matrix}\right. $$
从此可见, ${f}^{\left( k\right) }\left( 0\right)$ 都是整数.
再注意到
$$ f\left( {\frac{a}{b} - x}\right) = {\left( \frac{a}{b} - x\right) }^{n}\frac{{\left( a - b\left( \frac{a}{b} - x\right) \right) }^{n}}{n!} $$
$$ = \frac{{x}^{n}}{n!}{\left( a - xb\right) }^{n} = f\left( x\right) , $$
因此, ${f}^{\left( k\right) }\left( \pi \right) = {f}^{\left( k\right) }\left( \frac{a}{b}\right) = {\left( -1\right) }^{k}{f}^{\left( k\right) }\left( 0\right)$ ,故有 ${f}^{\left( k\right) }\left( \pi \right)$ 都是整数. 令
$$ G\left( x\right) \overset{\text{ 定义 }}{ = }\mathop{\sum }\limits_{{k = 0}}^{n}{\left( -1\right) }^{k}{f}^{\left( 2k\right) }\left( x\right) $$
$$ \text{ 因为 }{f}^{\left( k\right) }\left( x\right) \equiv 0\left( {k > {2n}}\right) \;{G}^{\prime \prime }\left( x\right) = \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}{\left( -1\right) }^{k - 1}{f}^{\left( 2k\right) }\left( x\right) \text{ . } $$
从而 ${G}^{\prime \prime }\left( x\right) + G\left( x\right) = f\left( x\right)$ ,并且 $G\left( \pi \right) ,G\left( 0\right)$ 都是整数.
现在,一方面从
$$ {\int }_{0}^{\pi }f\left( x\right) \sin x\mathrm{\;d}x = {\int }_{0}^{\pi }\left( {G\left( x\right) + {G}^{\prime \prime }\left( x\right) }\right) \sin x\mathrm{\;d}x $$
$$ = {\int }_{0}^{\pi }\sin x\mathrm{\;d}{G}^{\prime }\left( x\right) + {\int }_{0}^{\pi }G\left( x\right) \sin x\mathrm{\;d}x $$
$$ \text{ 分部积分 }{G}^{\prime }\left( x\right) \sin x{\left. \right| }_{0}^{\pi } - {\int }_{0}^{\pi }{G}^{\prime }\left( x\right) \cos x\mathrm{\;d}x + {\int }_{0}^{\pi }G\left( x\right) \sin x\mathrm{\;d}x $$
$$ \text{ 分部积分 } - {\left. G\left( x\right) \cos x\right| }_{0}^{\pi } - {\int }_{0}^{\pi }G\left( x\right) \sin x\mathrm{\;d}x + {\int }_{0}^{\pi }G\left( x\right) \sin x\mathrm{\;d}x $$
$$ = G\left( \pi \right) + G\left( 0\right) $$
可以看出 $\displaystyle{\int }_{0}^{\pi }f\left( x\right) \sin x\mathrm{\;d}x$ 是整数. 而另一方面,由
$$ {\int }_{0}^{\pi }f\left( x\right) \sin x\mathrm{\;d}x < {\int }_{0}^{\frac{a}{b}}\frac{{x}^{n}{\left( a - bx\right) }^{n}}{n!}\mathrm{d}x $$
$$ \overset{u = 1 - \frac{a}{b}x}{ = }\frac{{a}^{{2n} + 1}}{n!{b}^{n + 1}}{\int }_{0}^{1}{u}^{n}{\left( 1 - u\right) }^{n}\mathrm{\;d}u < \frac{{a}^{{2n} + 1}}{n!{b}^{n + 1}}, \tag{3.40} $$
因为 $\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\frac{{a}^{{2n} + 1}}{n!{b}^{n + 1}} = 0}$ ,所以对充分大的 $n$ ,不等式 (3.40) 的右端是小数, 而 (3.40) 的左端是整数. 这是一个矛盾, 这矛盾说明反证法假设不成立,即结论成立,也就是 $\pi$ 是无理数.