📝 题目
例 1 过点(4,0)作曲线 $y = \sqrt{\left( {x - 1}\right) \left( {3 - x}\right) }$ 的切线.
(1)求切线的方程；
(2)求由这条切线与该曲线及 $x$ 轴所围成的平面图形(如图 3.6 所示) 绕 $x$ 轴旋转一周所得的旋转体的体积.
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图 3.6
💡 答案与解析
解 (1) 令 $f\left( x\right) = \sqrt{\left( {x - 1}\right) \left( {3 - x}\right) }$ ,则
$$ {f}^{\prime }\left( x\right) = \frac{2 - x}{\sqrt{\left( {x - 1}\right) \left( {3 - x}\right) }}. $$
过点(4,0)作曲线 $y = \sqrt{\left( {x - 1}\right) \left( {3 - x}\right) }$ 的切线,切线与 $x$ 轴交点的横坐标是
$$ x - \frac{y}{{y}^{\prime }} = \frac{{2x} - 3}{-2 + x} = 4 \Rightarrow x = \frac{5}{2}, $$
即切点的横坐标是 $x = \frac{5}{2}$ . 于是切线斜率为 ${f}^{\prime }\left( \frac{5}{2}\right) = - \frac{1}{\sqrt{3}}$ ,切线方程是
$$ y = - \frac{1}{\sqrt{3}}\left( {x - 4}\right) . $$
(2)所求的旋转体的体积为
$$ \pi {\int }_{\frac{5}{2}}^{4}{\left( -\frac{1}{\sqrt{3}}\left( x - 4\right) \right) }^{2}\mathrm{\;d}x - \pi {\int }_{\frac{5}{2}}^{3}{\left( \sqrt{\left( {x - 1}\right) \left( {3 - x}\right) }\right) }^{2}\mathrm{\;d}x = \frac{\pi }{6}. $$