📝 题目
例 6 (1)求由曲线 $y = \cos x\left( {-\frac{\pi }{2} \leq x \leq \frac{\pi }{2}}\right)$ 与直线 $y = 0$ 围成的图形绕 $x$ 轴旋转一周所得旋转体的侧面积.
( 2 )设上题中的侧面积为 $S$ ,求证: ${4\pi } < S < \frac{14\pi }{3}$ .
💡 答案与解析
解 (1) 由题设条件:
$$ {S}_{\text{ 侧面积 }} = {2\pi }{\int }_{0}^{\pi }\sin x\sqrt{1 + {\cos }^{2}x}\mathrm{\;d}x $$
$$ \overset{u = \cos x}{ = }{4\pi }{\int }_{0}^{1}\sqrt{1 + {u}^{2}}\mathrm{\;d}u $$
$$ = {4\pi }{\left\lbrack \frac{1}{2}u\sqrt{{u}^{2} + 1} + \frac{1}{2}\ln \left( u + \sqrt{{u}^{2} + 1}\right) \right\rbrack }_{u = 0}^{u = 1} $$
$$ = {4\pi }\left\lbrack {\frac{1}{2}\sqrt{2} + \frac{1}{2}\ln \left( {\sqrt{2} + 1}\right) }\right\rbrack $$
$$ = {2\pi }\left\lbrack {\sqrt{2} + \ln \left( {\sqrt{2} + 1}\right) }\right\rbrack . \tag{4.2} $$
(2)首先证明不等式
$$ 1 < \sqrt{1 + {t}^{2}} < 1 + \frac{1}{2}{t}^{2}\;\left( {\forall t \in (0,1\rbrack }\right) . \tag{4.3} $$
证法 1
$$ 0 < \sqrt{1 + {t}^{2}} - 1 = \frac{{t}^{2}}{\sqrt{1 + {t}^{2}} + 1} < \frac{{t}^{2}}{2} $$
$$ \Rightarrow 1 < \sqrt{1 + {t}^{2}} < 1 + \frac{1}{2}{t}^{2}\;\left( {\forall t \in (0,1\rbrack }\right) . $$
证法 2
$$ 1 < \sqrt{1 + {t}^{2}} < \sqrt{1 + {t}^{2} + \frac{{t}^{4}}{4}} = \sqrt{{\left( 1 + {t}^{2}\right) }^{2}} = 1 + \frac{1}{2}{t}^{2} $$
$$ \left( {\forall t \in (0,1\rbrack }\right) \text{ . } $$
再将所证的不等式 (4.3),用来对 ${S}_{\text{ 侧面积 }}$ 的表达式 (4.2) 进行估计,即得结论.
评注 值得注意的是,本题第 (2) 小题,如果不是从表达式 (4.3) 出发,而是从第 (1) 小题的计算结果出发就很难奏效.