📝 题目
例 7 (1) 求证: 球带的面积等于球的最大圆周长与球带高的乘积;
(2) 求半球面 $z = \sqrt{{R}^{2} - {x}^{2} - {y}^{2}}$ 的重心.
💡 答案与解析
证 (1) 设球的半径为 $R$ ,球带的高为 $h\left( {h < {2R}}\right)$ ,则球带面积可以看成曲线
$$ y = \sqrt{{R}^{2} - {x}^{2}}\;\left( {a \leq x \leq a + h}\right) $$
绕 $x$ 轴旋转所得的侧面积(球带中的截面如图 3.10 所示),故球带的面积为
$$ P = {\int }_{a}^{a + h}{2\pi y} \cdot \sqrt{1 + {y}^{\prime 2}}\mathrm{\;d}x = {2\pi Rh}. $$
\begin{center} \includegraphics[max width=0.2\textwidth]{images/031.jpg} \end{center} \hspace*{3em}
图 3.10
解( 2 )由对称性可知半球面的重心坐标为 $\left( {0,0,\bar{z}}\right)$ ,把半球面看成一片一片高度为 $\mathrm{d}z$ 的球带拼合成的. 设半球面的密度为 $\rho$ ,则由第 (1) 小题的结果得
$$ \bar{z} = \frac{{\int }_{0}^{R}z \cdot \rho \cdot {2\pi R}\mathrm{\;d}z}{{\int }_{0}^{R}\rho \cdot {2\pi R}\mathrm{\;d}z} = \frac{R}{2}. $$