📝 题目
例 11 求抛物体 ${x}^{2} + {y}^{2} \leq z \leq h$ 的重心和绕 $z$ 轴的转动惯量 (已知抛物体的密度为 1 ).
💡 答案与解析
解 取自变量微元 $\left\lbrack {z,z + \mathrm{d}z}\right\rbrack$ ,把相应的体积微元的质量: $\pi {\left( \sqrt{z}\right) }^{2}\mathrm{\;d}z = {\pi z}\mathrm{\;d}z$ 看成求质量不均匀棒的重心. 所以
$$ \bar{z} = \frac{{\int }_{0}^{h}z \cdot {\pi z}\mathrm{d}z}{{\int }_{0}^{h}{\pi z}\mathrm{d}z} = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{2}{h}^{2}} = \frac{2}{3}h. $$
求转动惯量时, 把抛物体看成由曲线
$$ z = {x}^{2}\;\left( {0 \leq x \leq \sqrt{h}}\right) $$
绕 $z$ 轴旋转而得,如图 3.13 所示.
取自变量微元 $\left\lbrack {x,x + \mathrm{d}x}\right\rbrack$ ,则相应的面积微元为 $\left( {h - {x}^{2}}\right) \mathrm{d}x$ ,它是如图 3.13 中的区域 $A$ ,把区域 $A$ 绕 $z$ 轴旋转而得的体积微元的质量为 ${2\pi x} \cdot \left( {h - {x}^{2}}\right) \mathrm{d}x$ . 从而转动惯量微元为
$$ \mathrm{d}{I}_{z} = {x}^{2} \cdot {2\pi x} \cdot \left( {h - {x}^{2}}\right) \mathrm{d}x, $$
\begin{center} \includegraphics[max width=0.2\textwidth]{images/034.jpg} \end{center} \hspace*{3em}
图 3.13
于是
$$ {I}_{z} = {\int }_{0}^{\sqrt{h}}{2\pi }{x}^{3} \cdot \left( {h - {x}^{2}}\right) \mathrm{d}x = {2\pi }{\left\lbrack h\frac{{x}^{4}}{4} - \frac{{x}^{6}}{6}\right\rbrack }_{0}^{\sqrt{h}} = \frac{\pi }{6}{h}^{3}. $$
评注 本题在求重心和转动惯量时, 采用不同的微元, 使得求解过程直观简捷. 一般解实际问题时需要灵活选取微元, 还要掌握体、 线、面之间的转化.