📝 题目
解 (1) 积分有瑕点 $x = 0$ 与 $\displaystyle{x = + \infty}$ .
当 $\displaystyle{x \rightarrow + \infty}$ 时, $\frac{1}{\sqrt{x}\left( {1 + {x}^{2}}\right) } \sim \frac{1}{{x}^{\frac{5}{2}}}$ ,因为 $p = \frac{5}{2} > 1$ ,所以 $\displaystyle{\int }_{1}^{+\infty }\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x}\left( {1 + {x}^{2}}\right) }$ 收敛;
当 $x \rightarrow 0 + 0$ 时, $\frac{1}{\sqrt{x}\left( {1 + {x}^{2}}\right) } \sim \frac{1}{\sqrt{x}}$ ,因为 $p = \frac{1}{2} < 1$ ,所以 $\displaystyle{\int }_{0}^{1}\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x}\left( {1 + {x}^{2}}\right) }$ 收敛.
以上两方面结合起来, 则原广义积分收敛.
(2)积分有瑕点 $x = 0$ 与 $x = \pi$ .
当 $x \rightarrow 0 + 0$ 时, $\frac{1}{\sqrt{\sin x}} \sim \frac{1}{\sqrt{x}}$ ,因为 $p = \frac{1}{2} < 1$ ,所以 $\displaystyle{\int }_{0}^{\pi }\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{\sin x}}}$ 收敛；
当 $x \rightarrow \pi - 0$ 时, $\frac{1}{\sqrt{\sin x}} = \frac{1}{\sqrt{\sin \left( {\pi - x}\right) }} \sim \frac{1}{\sqrt{\left( \pi - x\right) }}$ ,因为 $p = \frac{1}{2}$ $< 1$ ,所以 $\displaystyle{\int }_{1}^{\pi }\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{\sin x}}}$ 收敛.
以上两方面结合起来, 则原广义积分收敛.
💡 答案与解析
解 (1) 积分有瑕点 $x = 0$ 与 $\displaystyle{x = + \infty}$ .
当 $\displaystyle{x \rightarrow + \infty}$ 时, $\frac{1}{\sqrt{x}\left( {1 + {x}^{2}}\right) } \sim \frac{1}{{x}^{\frac{5}{2}}}$ ,因为 $p = \frac{5}{2} > 1$ ,所以 $\displaystyle{\int }_{1}^{+\infty }\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x}\left( {1 + {x}^{2}}\right) }$ 收敛;
当 $x \rightarrow 0 + 0$ 时, $\frac{1}{\sqrt{x}\left( {1 + {x}^{2}}\right) } \sim \frac{1}{\sqrt{x}}$ ,因为 $p = \frac{1}{2} < 1$ ,所以 $\displaystyle{\int }_{0}^{1}\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x}\left( {1 + {x}^{2}}\right) }$ 收敛.
以上两方面结合起来, 则原广义积分收敛.
(2)积分有瑕点 $x = 0$ 与 $x = \pi$ .
当 $x \rightarrow 0 + 0$ 时, $\frac{1}{\sqrt{\sin x}} \sim \frac{1}{\sqrt{x}}$ ,因为 $p = \frac{1}{2} < 1$ ,所以 $\displaystyle{\int }_{0}^{\pi }\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{\sin x}}}$ 收敛；
当 $x \rightarrow \pi - 0$ 时, $\frac{1}{\sqrt{\sin x}} = \frac{1}{\sqrt{\sin \left( {\pi - x}\right) }} \sim \frac{1}{\sqrt{\left( \pi - x\right) }}$ ,因为 $p = \frac{1}{2}$ $< 1$ ,所以 $\displaystyle{\int }_{1}^{\pi }\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{\sin x}}}$ 收敛.
以上两方面结合起来, 则原广义积分收敛.