📝 题目
解 (1) 因为对 $\forall N \in N$ ,有 ${\mathrm{e}}^{-x} = O\left( \frac{1}{{x}^{N}}\right) \left( {x \rightarrow + \infty }\right)$ ,即 ${\mathrm{e}}^{-{x}^{2}} = O\left( \frac{1}{{x}^{2N}}\right)$ ,所以对 $N = 1$ ,便知积分 $\displaystyle{\int }_{0}^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-{x}^{2}}\mathrm{\;d}x}$ 收敛.
又解 当 $x \geq 1$ 时, ${\mathrm{e}}^{-{x}^{2}} \leq x{\mathrm{e}}^{-{x}^{2}}$ ,而
$$ \mathop{\lim }\limits_{{A \rightarrow + \infty }}{\int }_{1}^{A}x{\mathrm{e}}^{-{x}^{2}}\mathrm{\;d}x = \mathop{\lim }\limits_{{A \rightarrow + \infty }}\frac{1}{2}\left( {1 - {\mathrm{e}}^{-{A}^{2}}}\right) = \frac{1}{2}, $$
即广义积分 $\displaystyle{\int }_{1}^{+\infty }x{\mathrm{e}}^{-{x}^{2}}\mathrm{\;d}x}$ 收敛,从而 $\displaystyle{\int }_{1}^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-{x}^{2}}\mathrm{\;d}x}$ 收敛,即得 $\displaystyle{\int }_{1}^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-{x}^{2}}\mathrm{\;d}x}$ 收敛.
(2)因为 $\left| {{\mathrm{e}}^{-{x}^{2}}\cos {bx}}\right| \leq {\mathrm{e}}^{-{x}^{2}}$ ,所以由第 (1) 小题知广义积分 $\displaystyle{\int }_{0}^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-{x}^{2}}\cos {bx}\mathrm{\;d}x}$ 收敛.
💡 答案与解析
解 (1) 因为对 $\forall N \in N$ ,有 ${\mathrm{e}}^{-x} = O\left( \frac{1}{{x}^{N}}\right) \left( {x \rightarrow + \infty }\right)$ ,即 ${\mathrm{e}}^{-{x}^{2}} = O\left( \frac{1}{{x}^{2N}}\right)$ ,所以对 $N = 1$ ,便知积分 $\displaystyle{\int }_{0}^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-{x}^{2}}\mathrm{\;d}x}$ 收敛.
又解 当 $x \geq 1$ 时, ${\mathrm{e}}^{-{x}^{2}} \leq x{\mathrm{e}}^{-{x}^{2}}$ ,而
$$ \mathop{\lim }\limits_{{A \rightarrow + \infty }}{\int }_{1}^{A}x{\mathrm{e}}^{-{x}^{2}}\mathrm{\;d}x = \mathop{\lim }\limits_{{A \rightarrow + \infty }}\frac{1}{2}\left( {1 - {\mathrm{e}}^{-{A}^{2}}}\right) = \frac{1}{2}, $$
即广义积分 $\displaystyle{\int }_{1}^{+\infty }x{\mathrm{e}}^{-{x}^{2}}\mathrm{\;d}x}$ 收敛,从而 $\displaystyle{\int }_{1}^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-{x}^{2}}\mathrm{\;d}x}$ 收敛,即得 $\displaystyle{\int }_{1}^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-{x}^{2}}\mathrm{\;d}x}$ 收敛.
(2)因为 $\left| {{\mathrm{e}}^{-{x}^{2}}\cos {bx}}\right| \leq {\mathrm{e}}^{-{x}^{2}}$ ,所以由第 (1) 小题知广义积分 $\displaystyle{\int }_{0}^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-{x}^{2}}\cos {bx}\mathrm{\;d}x}$ 收敛.